你知道的典型应用题有哪些?解题思路怎样?

典型应用题之鸡兔同笼
一、基本问题
“鸡兔同笼”是一类有名的中国古算题.最早出现在《孙子算经》中.许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法--“假设法”来求解.因此很有必要学会它的解法和思路.
例1 有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是
244÷2=122（只）.
在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
122-88=34，
有34只兔子.当然鸡就有54只.
答：有兔子34只，鸡54只.
上面的计算，可以归结为下面算式：
总脚数÷2-总头数=兔子数.
上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
还说例1.
如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
88×4-244=108（只）.
每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.
说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了
244-176=68（只）.
每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，
68÷2=34（只）.
说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.
假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.
现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.
例2 红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？
解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.
现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有
蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）
=24÷8
=3（支）.
红笔数=16-3=13（支）.
答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是
8×（11+19）=240.
比280少40.
40÷（19-11）=5.
就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.
实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数
19×10+11×6=256.
比280少24.
24÷（19-11）=3，
就知道设想6只“鸡”，要少3只.
要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
下面再举四个稍有难度的例子.
例3 一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？
解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.
根据前面的公式
“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）
=4.5，
“鸡”数=7-4.5
=2.5，
也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.
答：甲打字用了4小时30分.
例4 今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是
（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.
1998年，兄年龄是
14-4=10（岁）.
父年龄是
（25-14）×4-4=40（岁）.
因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
（40-10）÷（3-1）=15（岁）.
这是2003年.
答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
例5 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的
蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）
=5（只）.
因此就知道6条腿的小虫共
18-5=13（只）.
也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式
蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.
因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.
例6 某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
解：对2道、3道、4道题的人共有
52-7-6=39（人）.
他们共做对
181-1×7-5×6=144（道）.
由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样
兔脚数=4，鸡脚数=2.5，
总脚数=144，总头数=39.
对4道题的有
（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.
答：做对4道题的有31人.

习题一
1.龟鹤共有100个头，350只脚.龟、鹤各多少只？
2.学校有象棋、跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？
3.一些2分和5分的硬币，共值2.99元，其中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？
4.某人领得工资240元，有2元、5元、10元三种人民币，共50张，其中2元与5元的张数一样多.那么2元、5元、10元各有多少张？
5.一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？
6.摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路（3千米）、一段平路（4千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的；有的是由一段上坡路（3千米）、一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后，共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
7.用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？

二、“两数之差”的问题
鸡兔同笼中的总头数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？
例7 买一些4分和8分的邮票，共花6元8角.已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？
解一：如果拿出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就一样多.
（680-8×40）÷（8+4）=30（张），
这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张.
因此8分邮票有
40+30=70（张）.
答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二：譬如，假设有20张4分，根据条件“8分比4分多40张”，那么应有60张8分.以“分”作为计算单位，此时邮票总值是
4×20+8×60=560.
比680少，因此还要增加邮票.为了保持“差”是40，每增加1张4分，就要增加1张8分，每种要增加的张数是
（680-4×20-8×60）÷（4+8）=10（张）.
因此4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.
例8 一项工程，如果全是晴天，15天可以完成.倘若下雨，雨天一天
工程要多少天才能完成？
解：类似于例3，我们设工程的全部工作量是150份，晴天每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴天有
（150-8×3）÷（10+8）= 7（天）.
雨天是7+3=10天，总共
7+10=17（天）.
答：这项工程17天完成.
请注意，如果把“雨天比晴天多3天”去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能推算出另一个.这说明了例7、例8与上一节基本问题之间的关系.
总脚数是“两数之和”，如果把条件换成“两数之差”，又应该怎样去解呢？
例9 鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几只？
解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍.兔的只数是
（100+28÷2）÷（2+1）=38（只）.
鸡是
100-38=62（只）.
答：鸡62只，兔38只.
当然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是
（100-28÷4）÷（2+1）+7=38（只）.
也可以用任意假设一个数的办法.
解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是
4×50-2×50=100，
比28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2）.因此要减少的兔数是
（100-28）÷（4+2）=12（只）.
兔只数是
50-12=38（只）.
另外，还存在下面这样的问题：总头数换成“两数之差”，总脚数也换成“两数之差”.
例10 古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字.有一诗选集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首.
解一：如果去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差
13×5×4+20=280（字）.
每首字数相差
7×4-5×4=8（字）.
因此，七言绝句有
28÷（28-20）=35（首）.
五言绝句有
35+13=48（首）.
答：五言绝句48首，七言绝句35首.
解二：假设五言绝句是23首，那么根据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了
460-280=180（字）.
与题目中“少20字”相差
180+20=200（字）.
说明假设诗的首数少了.为了保持相差13首，增加一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增加8.因此五言绝句的首数要比假设增加
200÷8=25（首）.
五言绝句有
23+25=48（首）.
七言绝句有
10+25=35（首）.
在写出“鸡兔同笼”公式的时候，我们假设都是兔，或者都是鸡，对于例7、例9和例10三个问题，当然也可以这样假设.现在来具体做一下，把列出的计算式子与“鸡兔同笼”公式对照一下，就会发现非常有趣的事.
例7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是
（680-8×40）÷（8+4）=30（张）.
例9，假设都是兔，鸡的只数是
（100×4-28）÷（4+2）=62（只）.
10，假设都是五言绝句，七言绝句的首数是
（20×13+20）÷（28-20）=35（首）.
首先，请读者先弄明白上面三个算式的由来，然后与“鸡兔同笼”公式比较，这三个算式只是有一处“-”成了“+”.其奥妙何在呢？
当你进入初中，有了负数的概念，并会列二元一次方程组，就会明白，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事.
例11 有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算，每只2角，如有破损，破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6元，问这次搬运中玻璃瓶破损了几只？
解：如果没有破损，运费应是400元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是
（400-379.6）÷（1+0.2）=17（只）.
答：这次搬运中破损了17只玻璃瓶.
请你想一想，这是“鸡兔同笼”同一类型的问题吗？
例12 有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分？
解一：如果小明第一次测验24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做对30-24=6（题）得分是
8×6-2×（15-6）=30（分）.
两次相差
120-30=90（分）.
比题目中条件相差10分，多了80分.说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增加一题不但不倒扣2分，还可得8分，因此增加8+2=10分.两者两差数就可减少
6+10=16（分）.
（90-10）÷（6+10）=5（题）.
因此，第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.
第一次得分
5×19-1×（24- 9）=90.
第二次得分
8×11-2×（15-11）=80.
答：第一次得90分，第二次得80分.
解二：答对30题，也就是两次共答错
24+15-30=9（题）.
第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.
如果答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9.但两次满分都是120分.比题目中条件“第一次得分多10分”，要少了6×9+10.因此，第二次答错题数是
（6×9+10）÷（6+10）=4（题）·
第一次答错 9-4=5（题）.
第一次得分 5×（24-5）-1×5=90（分）.
第二次得分 8×（15-4）-2×4=80（分）.

方程解答几种典型的应用题

应用题这一内容是数学教学领域中的一个重要板块，也是学生学习数学的一个重要障碍，更是教师在教学中难以突破的一个教学难点。因此让每一位学生拥有一套正确熟练的解答应用题的方法，则是每一位数学教师的追求目标，同样，在这一点上我在教学中根据学生的学习情况也作了一些思考。下面我就对几类典型的应用题的解答方法，谈一下个人的看法。

数学教师都知道，在以前人民教育出版社发行的老数学教材书上，就例题的教学很少是用方程来解答的，一些逆向思维的应用题都叫做除法应用题。而如今江苏教育出版社发行的数学教材却非常重视了用方程解答应用题，我觉得这种数学思想的转变非常重要，因为一些稍复杂的除法应用题需要学生的逆向思维，而只需顺着思考的方程解答相比之下就更符合学生的学习思路。

第一类：“比一个数的几倍多（少）几”的应用题。

在数学教材第八册就有一类“比一个数的几倍多（少）几”的应用题，其中的“一个数”有时已知，有时未知，对于这两种情况的解答有何异同，如何选择适当的方法解答，这两个问题应该是学生在解题中最大的疑惑。下面就通过两个例子来讨论一下。

1.、元旦庆祝活动中，五（2）班共买了36个红气球，买的蓝气球比红气球的2倍少8个，五（2）班买了几个蓝气球？

2、 元旦庆祝活动中，五（2）班共买了36个红气球，比蓝气球的2倍少8个，五（2）班买了几个蓝气球？

在这类应用题的教学中我是给学生6个字：“一找、二看、三选”。一找：是到题中找一倍数，上面两题的一倍数一个是“红气球的个数”，一个是“蓝气球的个数”。二看：是看找到的一倍数是已知还是未知，例子中的一倍数第一个是已知的，第二个是未知的。三选：一倍数是已知的，就选择算术方法，一倍数是未知的，就选择方程。另外，用方程解答应用题的关键是要列出等量关系，这类“比一个数的几倍多（少）几”的应用题的等量关系的列出同样只要遵循：“比”改“=”号，“的”改“×”号，“多”改“+”号，“少”改“—”号。所以第二题就可以列出等量关系：红气球的个数=蓝气球的个数×2—8，这样就可列出方程进行解答了。在教学中我发现，第2题的解答如果学生选择算术方法（除法），出现的错误率极高，因此针对不同的题目，选择适当的解答方法非常重要。

第二类：“和（差）倍”应用题。

在第九册数学教材中有这样一个重要的例题：果园里有梨树和桃树共360棵，其中梨树的棵数是桃树棵数的3倍，果园里有梨树和桃树各多少棵？

题目中已知两个数的和与它们的倍数关系，分别求这两个数，教学中把这类应用题叫做“和倍应用题”。因为题里有非常明显的等量关系即梨树的棵数+桃树的棵数=360棵，所以在课堂上还是主要介绍方程来解答，设其中的一倍数为x（桃树有x棵），另一个数是几x（梨树有3x棵）。根据等量关系列出方程x+3x=360。差倍应用题的等量关系则是两个数相减等于已知的差。

当然，学生也可采用不同的方法解答，但是掌握方程解答是理解这类题目的基础。

第三类：“单位‘1’未知的稍复杂”的应用题。

分数应用题中存在单位“1”的量、部分量及分率之间的一些复杂关系，单位“1”已知的分数乘法应用题是本单元学习的基础，学生很容易掌握，单位“1”未知的稍复杂应用题则是前面基础的深化。

如：修一条公路，已修了3/5，还剩240米没修，这条公路一共长多少米？有的教师在教学中就是喜欢让学生背口诀，单位“1”未知，用除法，找到部分量240米，除以对应分率（1—3/5），但是其中的240除以2/5为什么等于全长却偏偏是学生难以掌握的一个知识点。学生虽然做对了，但是可能却未理解。老师为什么不好好利用前面学生掌握的非常牢靠的分数乘法应用题呢？

题中的等量关系学生很容易可以看出：公路全长—已经修的=还剩的。就可以设未知的单位“1”为米，列出方程x-3/5x=240。

因此，我认为当学到一个深化的知识点时，要运用知识的前后变通，以基础为基础，从而化解学生学习的难点。

第四类：“固定公式中的一个部分量未知，求这部分量”的应用题。

在数学知识中，有很多固定的公式，如“三角形面积=底×高÷2、

梯形的面积=（上底+下底）×高÷2……”而有些应用题却是这样的：

1、 已知一个三角形的面积是30平方厘米，底是15厘米。求三角形这条底上的高。

有的学生就写成：30÷15、 30÷2÷15、 30×2÷15。显然只有第三个是对的，但是根据算式还要先理解30×2求到与这个三角形等底等高的平行四边形的面积，再求到三角形的高，这多费力啊！如果列方程就简单多了，15x÷2=30。

2、梯形的面积是60平方厘米，已知它的上底与高分别是18厘米和3厘米。求它的下底。

同样这题如果要对公式变形非常困难，用方程也很容易解决。

当然，这样固定的数量关系还有很多很多，它们的解答方法都是相类似的。

我觉得不仅要教会学生用方程来解答应用题，更要让学生知道方程在应用题解答中的重要作用。理解方程不仅可以大大提高学生解题的正确率，更可以帮助学生深刻理解题目里的“为什么”。当然，不是所有应用题的解答用方程就是好，还要学会适当的运用。

第一类：“比一个数的几倍多（少）几”的应用题。