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求助已知A是n阶正定矩阵，B是n阶反对称矩阵，证明A-B^2也为正定矩阵

2024-11-20 09:23:25

推荐回答（2个）

回答1：

正定矩阵定义：对于任意非零向量x=（x1,x2,...,xn）^t，都满足x^tax>0，则a为正定矩阵。
设x为任意n维列向量，x^t（a-b^2）x=x^tax-x^tb^2x，b^2=b*b，由于b为反对称矩阵，b=-b^t。
所以，-x^tb^2x=x^tb^tbx=(bx)^tbx=||bx||，||bx||是列向量的长度也叫做范数，它的取值大于等于0.
由x^tax>0，-x^tb^2x>=0，推出x^t（a-b^2）x>0，所以a-b^2是正定矩阵。

回答2：

对非零列向量x
Bx 是一个列向量
则 (Bx)'(Bx) >= 0 [这里要求B是实矩阵--线性代数默认]
这是内积的非负性(一个性质),原因:设 Bx =(a1,...,an)'
则 (Bx)'(Bx) = a1^2+...+an^2 >=0.
所以 x' (A-B^2)x
= x'Ax + x'B'Bx [ B' = -B]
= x'Ax + (Bx)'(Bx) [ A正定,x'Ax>0]
>0
所以 A-B^2也为正定矩阵