设函数f(x)=ax-b⼀x,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0

由切线方程得:(点(2,f(2))也在切线方程上)
f(2)=1/2
f'(2)=7/4
解得a = 1, b = 3;
f(x)在(t,f(t))点的切线方程为y=(1+3/t^2)x+C
当x=t时,y=t+3/t
解得C=-6/t
y=(1+3/t^2)x-6/t
分别与方程x=0，y=x联列，得
y=-6/t , x=2t
S=1/2*|x*y|=6
为定值
得证

解：（1）对f（x）求导得：f'（x）=a+b/x²
∵在x=2处切线的斜率k=7/4
∴f'（2）=a+b/4=7/4
又∵x=2时，14-4y-12=0
y=1/2
即切点为（2，1/2）
而切点在曲线上，∴2a-b/2=1/2
两式联立可解得：a=1
b=3
所以y=f（x）的解析式为：f（x）=x-3/x证明：（2）根据f（x）=x-3/x，求导可得f'（x）=1+3/x²
设任意切点为（x0，x0-3/x0）
则切线斜率为：k=1+3/x0²
∴切线的方程为：y=（1+3/x0²）x-6/x0
当x=0时，y=-6/x0
联立y=（1+3/x0²）x-6/x0和y=x
解得x=y=2x0
所以三角形的三个顶点是：（0，0）
（0，-6/x0）
（2x0，2x0）
∴S=
1/2·6/x0·2x0=6
所以曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积
为定值，该定值为6

(2,f(2))在直线7x-4y-12=0,
14-4f(2)-12=0,

∴f(2)=1/2,
即2a-b/2=1/2①
直线7x-4y-12=0斜率为7/4,
f'(x)=a+b/x^2,

∴f'(2)=a+b/4=7/4②
结合①②得
a=1,b=3
∴f(x)=x-3/x,
f'(x)=1+3/x^2
2)设切点(t,
t-3/t),
切线斜率为1+3/t^2
∴切线:
y=(1+3/t^2)(x-t)+t-3/t,
即y=(1+3/t^2)x-6/t
∴切线与x=0交点(0,-6/t),
与y=x交点(2t,2t)
∴三角形面积=(1/2)*|-6/t|*|2t|=6,是定值

1.当x=2时，7*2-4y-12=0，y=f（2）=1/2
所以f（2）=2a-b/2=1/2...........(1)
f'(x)=a+b/x^2
f'(2)=a+b/4=7/4.......................（2）
解得：a=1，b=3
所以f（x）=x-3/x
2