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a是实数， f(x)=a- 2 2 x +1 (x∈R) ，用定义证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数

2025-04-13 04:16:09

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回答1：

证明：设x₁ ，x₂ ∈R，x₁ ＜x₂ ，则
f（x₁ ）-f（x₂ ）= (a-

2 x 1 +1

)-(a-

2 x 2 +1

) -------------（2分）
=

2 x 2 +1

2 x 1 +1

2( 2 x 1 - 2 x 2 )

( 2 x 1 +1)( 2 x 2 +1)

，-----------------（4分）
∵指数函数y=2^x 在R上是增函数，且x₁ ＜x₂ ，
∴ 2 x 1 ＜ 2 x 2 ，可得 2 x 1 - 2 x 2 ＜0 ，---------------------（6分）
又∵2^x ＞0，得 2 x 1 +1＞0 ， 2 x 2 +1＞0 ，--------------（8分）
∴f（x₁ ）-f（x₂ ）＜0即f（x₁ ）＜f（x₂ ），
由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．----------（10分）