相对论相关 圆周率问题和双生子佯谬

第一个问题这样来考虑：转动的测量者S'完成测量所用的尺子总数或放置次数N在转动者S'和静止者S两者看来都是一样的，抓住这个不变量，问题就明朗了——先从静止者S观察，圆周长为C=2πR，动尺围了N把或共放置N次完成测量，故C=NL，由于动尺缩短，固有长度为L'的尺子收缩为L=L'√(1-v²/c²)，于是有C=NL'√(1-v²/c²)；而从转动者观察，在圆周上共测了N次或放置了N把尺子，故周长为C'=NL'=NL/√(1-v²/c²)=C/√(1-v²/c²)=2πR/√(1-v²/c²)，由于径向半径R始终垂直于运动方向而不变，故可推知转动者测得的圆周变长，圆周率变大。
事实上，假设静止者和转动者使用同样的尺子，转动的测量者S'完成测量所用的尺子总数或放置次数N要比静止的测量者S完成测量所用的尺子总数或放置次数n大，关系为N=n/√(1-v²/c²).

关于 吴越之梦 的疑问：我理解你的意思，你是说从任何一个瞬间看来，运动者所在处圆周的一小段在运动方向上发生收缩，如果把每处的收缩合起来，似乎圆周长应缩短。但问题是，运动者看到的不再是正圆C，而是一个随他一起旋转的椭圆E'，在运动切向上的圆直径D=2R收缩为椭圆的短轴D'=2R√(1-v²/c²)；而他进行测量的地方在旋转椭圆E'的长半轴R处，转动一周过程中随动测量的是以这个旋转椭圆E'的长轴D=2R为直径的正圆C'，变换到静止坐标系中即是以垂直于瞬时运动方向的圆直径D=2R为短轴、以运动切向上大于圆直径D的2R/√(1-v²/c²)为长轴的旋转大椭圆E，而不是原来的正圆C；但静止观察者看到转动者测量时又总是在这旋转大椭圆E的短半轴R处放置尺子L=L'√(1-v²/c²)，共这样进行了N次完成测量，因为静止的圆周C上共放置了N次动尺L量完，故存在关系C=NL。这在转动者看来里，“圆周”(在静止惯性系中是大椭圆E)长C'=NL'=NL/√(1-v²/c²)=C/√(1-v²/c²)=2πR/√(1-v²/c²)。
而静止惯性系中测量的正圆C，在转动者看来测量的不是正圆，而是短轴为D'=2R√(1-v²/c²)、长轴为D=2R的椭圆E'，且在各处放的尺子长度不一，L'(x,y)=√[Lx²(1-v²/c²)+Ly²]，各放了dn次，周长积分为E'=∮L'(x,y)dn=πR[1+√(1-v²/c²)]；而在静止惯性系中看来，C=nL=2πR。
可以设想这样一种有趣的情况：先在静止惯性系中放置一圈尺子，然后让它们转起来，会发现这转动的圆周长缩短了，因为尺子数不变，而每把尺子都缩短了，即转动的物体在静止惯性系中呈现出圆周率变小的黎曼几何特征，但与之重合的静止圆周长却没变；而在同步转动的观察者看来，尺子摆的不是正圆，而是扁缩的椭圆，当他测“圆周”时测得圆周率变大，他测的圆周实际上是静止惯性系中的大椭圆。
可见对二者而言的“圆周”是不同的，转动系的“圆周”是静止系的大椭圆，而静止系的圆周是转动系的小椭圆，由此造成测量结果的不同，也可以看出圆周率等几何特征在不同的参照系中一般不再相同，几何测量也随参照系变化；实际上，时间测量也相应变化。在转动体系中，基于中心静止点建立的静止惯性系时空坐标对各处转动部分而言不再具有实际测量意义，体系各处的时空标准和圆周率等时空几何特征都不再一致，动力学原因是各处的加速度不一致，几何描述是各处的时空曲率不一致。

第二个问题问得很好，因为通常的解释只强调了加速度的广义相对论效应，而忽视了相对运动的狭义相对论效应。事实上，一旦加速过程固定，加速度所引起的时间延缓量也就确定了，这时相对运动引起的时间延缓量将成为关键。
lz的考虑(“如果2，5阶段的时间足够长！会导致B认为A的时钟足够慢，以至于其他4个加速减速阶段导致的B时钟变慢而被抵消，从而使得最重在地球的比较A比B年轻”)有一定的道理，但缺陷在于未考虑到B的坐标系时间变化。
由于B的速度变化了，其所在的参照系也就变化了，时间坐标也相应变化；当B从匀速运动静止下来，其固有时间即自身年龄就与参照系时间坐标发生分化，会发现坐标系时间由于坐标转换而迅速推前，最终的坐标时间将等于A的年龄，比自己的年龄大，即B将测得A的年龄迅速增大，其中既有B自身变速延缓时间的效果，又有B所处坐标系不断变化最终变换到A所在坐标系的效果。
所以即使不考虑B的加速度造成的时间延缓，由于B的速度变化造成的坐标系时间对自身年龄的偏离，当B最终回归到A坐标系时，也会发现A的年龄大。这可以借助时空图分析，也可以参考下面的小例子：

甲乙年龄相等都为零岁，甲乙在地球上，现在乙以很高的速度离开了地球，然后乙自己感觉过了一年就又回来了（乙用自己的钟来计算时间），可是这个期间，甲对乙的观察得出的结论是：乙用了一百年的时间才飞回来（甲也用自己的钟计算时间），问题是：现在谁更年轻？到底是多少岁的甲见到了多少岁的乙？
问题可以简化在狭义相对论框架内解决，即设想这样一种理想情形：
乙从地球瞬间加速到v，离去一段时间后，又瞬间调头，以原来速度大小折返地球，然后瞬间降落。由于是瞬间变速，故不必考虑加速过程的广义相对论效应，只需考虑匀速直线运动过程的狭义相对论效应。取甲开始时的时空坐标为甲乙共同原点。
当乙离开半年调头前，乙测得时间过了0.5年，而甲只过了0.005年，比自己年轻0.495岁，因为在乙参照系中甲时空坐标为(x',t')=(-0.5v，0.5)，相当于甲(地球)参照系中的(x,t)=(0,0.005)，即乙参照系中测的甲年龄是在甲参照系中时间过了0.005年时的甲年龄；而在甲参照系中甲时空坐标为(x,t)=(0，50)，相当于乙参照系中的(x',t')=(-5000v,5000)；同理，在乙参照系中乙时空坐标为(x',t')=(0，0.5)，相当于甲参照系中的(x,t)=(50v,50)；这时乙若突然相对甲静止，则乙的时空坐标系将突然变换到甲参照系，发现自身所处时间坐标实际上已经是50年，而自己的年龄只有0.5岁，这时测得的甲年龄即是50岁，等于甲参照系的时间。
同样，当乙离开半年突然调头后，v变为-v，乙的时空坐标发生反射变换，在乙参照系中甲时空坐标变为(x',t')=(0.5v，0.5)，相当于甲瞬间位移，由在-0.5v处以v远离突然变到在0.5v处以-v接近，即相当于乙参照系中的时空坐标突然反向回到1年前，位移为(-v,0)或(0,-1)；但就年龄测量而言，在甲参照系中甲年龄时空坐标为(x,t)=(0，50)，在乙参照系中由原来的(x',t')=(-5000v,5000)突变到现在的(x',t')=(5000v,5000)，相当于乙的时空原点突然位移为(-10000v,0)或等效于(0,-10000)，即相当于乙参照系中时间原点突然反向回溯10000年，而由上面论述已知乙参照系中甲的时间坐标反向回溯1年，于是甲在乙参照系中的相对时间坐标由0.5年跳变为0.5+10000-1=9999.5年，相对时空坐标由(-0.5v,0.5)变为(9999.5v,9999.5)，相当于甲参照系中的(0,99.995)， 效果是乙参照系测量甲的年龄由0.005岁突然跳变成99.995岁，这可由二者的时空图投影看出；于是当乙再过半年回到地球时，会发现甲的年龄增加了0.005岁而变为100岁，自身则是0.5+0.5=1岁。

关于楼主的补充：
1.双子佯谬.楼主的理解基本正确，不过误解了我的不考虑加速度的时间延缓效应——我的意思是由于加速度的存在，除了相对运动造成的时间延缓效应，还存在加速度造成的时间延缓效应，这样计算结果是甲过了100年时，乙回来还不到1岁；但是把问题限定在狭义相对论范畴中，忽略掉加速度的时间延缓效应，比如理想化成“瞬时变速”，则乙回来时刚好1岁。而谁受到了加速度，并不因两者之间存在相对加速度而不可确定，因为其中一者可以感觉到自身运动状态的改变即加速度的存在，而另一者则感不到自身运动状态的变化。
2.圆盘问题.如何理解在我们的世界中，这一圈尺子的周长变短，而直径不变？可以认为动尺与我们之间的空间发生了弯曲，偏离了与我们相对静止的平直空间，想象成我们眼中的转盘平面在物理上弯曲成了球面，虽然圆心到圆周的半径(类似从地球北极到赤道的球面经线的长度)不变，但圆周长却缩短了(类似的球面赤道周长要比同样半径的平面圆周长短)。所以我们可以认为旋转物体处在弯曲空间中，用我们惯常的平直空间无法对其作出合理解释。
如何理解广义相对论中对引力场造成时钟变慢，尺缩等效应？最好的理解方法是借助广义相对论方程去分析，可以看到由于引力场强的地方时空度规对平直时空的偏离较大，当把那里的固有时间或距离变换成广义时空坐标时，就会看出钟慢尺缩。采用浅易的例子也可以帮助初步理解，比如转盘，我们已经看到，转盘上的固有圆周长由于尺缩效应而在圆心建立的惯性坐标系中测得变小，这结合对瞬时的狭义相对论性分析进行综合可以得到，同样时间延缓也可以得到；但一般的理解只停留在从狭义相对论得到的简单关系上，所以说不清到底是狭义相对论还是广义相对论的效应。
其实狭义相对论的分析只适用于瞬时一点，并且具有相对性，即对静、动坐标系中瞬间重合的点之间相互适用狭义相对论关系；但当分析转动者的循环一周时，狭义相对论的分析原理上不能简单地推广，否则会得出矛盾的结论。这时由于加速度的存在，静、动系重合点处瞬时局部所体现出的相互对称性在广域上失效，只有动系对静系的局部狭义相对论关系在整体上起作用，正如双子佯谬中变速者对匀速者的关系。也正是这样，整体广义相对论效应在一定程度上体现出与狭义相对论效应一致的数量关系，但单纯的狭义相对论效应却不能导致非相互对称性的钟慢尺缩效应。因此楼主提到的“外边缘速度快，根据狭义相对论所以时钟慢，而这里加速度大，等效为引力场强，得出引力场强的地方时钟慢”这一推理是形象的简单说法，实际上不是这样的，因为严格的分析比较抽象，所以很多书上就这样不严谨的提一下。严格来说，这种推理是不正确的，帮助简单了解可以，但若用来作逻辑分析就是误导人了。看得出楼主很爱深入思考，这是很有好处的，但若要深入理解，就不要局限于这样的浅显例说，最好是对非欧几何和广义相对论的数理分析有一定基础，高中甚至大学的数学和物理都不太够，比较难搞清楚。所以鼓励楼主继续深造，才能更好的深入探索。
另外，引力场中的运动物体，时间延缓既有引力效应，也有运动效应，而从其随动广义坐标系中看只有引力效应，从局部静止惯性系看只有运动效应；狭义相对论效应作为局部效应包含在广义相对论效应中。

你好 你的问题问的很好 不过 我想你现在就算找到了答案 过不久 答案也会失效的 给你一段文字 你参考下 】
很遗憾 我偏科 高考考砸了 不能继续深造 能力就那么多 不过写的东西还是有借鉴价值的 至少我是这么觉得的 如果你认同我的看法 就顶起吧

对相对论的评论：（我不敢说绝对，但我要说的是相对论很可能是一个错误的理论，目前没人推翻他，但也没人可以证明他。而且，觉得他的观点是错的人也不是一个两个，确实有很多很多人反对的。）
先说下相对论，它以光速不变原理和狭义相对论原理作为两条基本公设：一是光速不变原理，及在任何惯性系中，真空中的光速C 都相同；二是相对性原理 ，即在任何惯性参考系中，自然规律都相同。
说得简单点，爱因斯坦说过光速是不可超过的，还提：①出物体的长度在运动时比静止时的短，②运动物体的质量比静止物体的大，③运动的时钟比静止的慢，从而说“运动的时间比静止的慢” 。
上面就提到了 长度，质量，时间。
长度暂且不说，就说质量和时间，在初中和高中，所学的物理包括了声光热电力。。。可以说是对物理的轮廓有了个大致的了解，其实物理就是学常识并对常识进行解释的一门学科，现实生活中很多奇妙的东西在物理的解释下视乎都变的十分简单。

说到常识，时间，质量 这两个在常识中就是不变的，爱因斯坦一个重要的贡献 质能方程E=MC^2 视乎是把质量和能量结合到了一起，但这却仅仅说明的在质量转化为能量时的质量亏损，却没办法解释物体在获得动能之后质量也遵循这个公式，但爱因斯坦也提出了另一个公式高速运动物体质量公式m=m。/(1-v^2/c^2)^0.5 同时也提出高速运动时的时间 长度的公式。

然而，这个公式的来源，具体怎么来的，我不是很确定，但根据高三教科书上说描述的，以及爱因斯坦《相对论》上粗略描述的，都是高速列车的试验，（即一个人在告诉行驶的列车上，用光照车顶的镜子再反射回来。这里我们设车高X，车速为C，当然爱因斯坦没设，不过设了方便计算。 这样 车上人看到的光走过长度为2X，车下人看到光所走的路程为2√2X），这时候就有了一个歧义，光速究竟是C还是2√2C呢。 但爱因斯坦却提出了一个匪夷所思的观点，就是车上的时间慢了就是说时间也变成2√2t了这样保证了光速不变这个原理。 但是这其中不是很荒谬么。
爱因斯坦的这个推断就是讲明了光所走的路线是2√2X但时间也是2√2t 所以光速不变。
问题就处在这里，能这样改的吗，为了说明光速不变，竟把时间给改了。
众所周知，时间是不变的，就算车上的钟走得慢，但时间任然不变，不能说表走慢了时间就要慢下来吧，只有表走慢或走快，但说看着表说表没错是时间错了，不是很荒谬吗？
这只是其中一点，第二点，也是更重要的。
爱因斯坦的这么多公式都是基于一个高速列车的实验，但那个实验的结果真会想爱因斯坦预测的那样吗？ 我想不见得。
首先，高速列车在现实中想实现，估计近100年时不可能的了，所以想证明那个不很困难的，因此，推翻他是很难的。但可以根据常理去推断他的。 关于光速不变，还有一个实验比较可行，就是在运动的物体上和静止的物体上测光的传播时间，结果是说明光不会被影响，然而，实验的载体速度也是很有限的，加上有误差，所以有些东西我还无法描述，但就算光速不受载体的影响，那有能说明什么呢？也无法说明前面的高速物体质量，时间 长度 公式是对的。

单单是高速列车实验的结果，这个作为爱因斯坦推断出公式的实验，这个在常人看来理所当然的实验，然到真的就是对的吗？
我不觉得他是对的，并且我也有自己的观点，我是觉得还有其他答案，我想还会有很多人有他们自己的答案，在这个实验里，我们会找到无数个可能的结果，每个结果都有不同的答案，那么这么多答案，难道真是爱因斯坦说的那个是对的吗？
我想，没有实际试验前，谁都没权利说自己是对的，但我知道，通过光速不受载体运动与否的影响与列车的实验，两个实验就形成鲜明的对比，也就是说，如果光不受载体运动的影响那么高速列车的实验就有很大的可能是错的。

总之，如果高速列车的实验会产生其他的现象，那么之前的实验就都错了，高速运动物体的质量就不符合那个公式，而任何物体不可超过光速这一理论也就错了。

然而现在还有个说法，说如果可以超过光速，就可以穿越时光，回到过去，或是到未来去，我觉得，爱因斯坦这只是作为说明光速不可超过的 而作出的一个比喻，可以说是一个玩笑话。但有些人却把这句话炒得沸沸扬扬的，更是荒谬之极。就算有物体超过光速了，就算哪国发明出超光速火箭或是飞船，那又怎么到过去去呢？你昨天杀了只鸡，坐上火箭鸡就活了吗？ 到未来 更是不可能的。

我是很自信的 爱因斯坦 的结论一定会被推翻 只要有一天 飞船的速度能到达0.5C 甚至0.1C都有可能推翻

呵呵，楼上的也就是认同自己复制的内容的观点喽？那孩子不懂事乱说一气的话也有人相信？我也是一个高中生，而且偏科厉害导致今年复读，我也曾想过爱因斯坦可能错了这个问题。但经过反复地捉摸发现其实错的是我。楼上复制的内容说的话我看来很搞笑，因为他既然对相对论产生置疑，那他为什么不多查阅资料看他不知道的东西呢？其中有段话说他不知道质量增加的公式怎么来的，那他查阅没有？我为了弄清楚走了好多书店没找到相对论，最后到网上买了本研究，试问他没有研究有什么资格乱说？以他浅薄的见识能理解相对论吗？
别怀疑我在这说大话，我在高中时班里物理学第一的位置无人撼动，对物理的执著也是没人可以比的。我家有很多物理书，虽然只是高中生，我家却有大学教材，费曼讲义，相对论，弦理论，量子论等等的书。我唯一弱势科目是英语，其它没有一门没学好。我研究过相对论，对上面的推导，还有推论了如指掌，感觉楼上复制内容中的话很小儿科，甚至弱智。在此不谈论楼上内容的正确性，楼主能问出这种问题相信也研究相对论很深入了吧？所以楼上的见解相信楼主还是能看出是否正确的。在这我只是小小地抱怨下，唉。
对于楼主的问题我也有类似的疑惑，以前看书时也很迷茫。对第一个问题我会再查阅相关资料给楼主一个答复的。我先回答第二个问题吧。
楼主既然知道双生子佯谬我也就不多言了，只是解释下为什么不对称的原因。其实很简单，要证明谁的时间慢只须证明谁在真实运动即可。对于地球上的人来说，假如一直不动等飞船上的人回来，那么此人就只受重力作用，而且绝对不会受到其它的加速度作用。而飞船上人不同，需要经历加速和减速的过程，那么在一段时间内一定会感觉到一个力的作用，因为力要提供加速度，而其它时候没有力作用处于失重状态，这些已经足够确定哪个是真实运动，哪个不是真实运动的了，不是吗？再说这个问题主要是参考系的问题，因为如果以地球人为参考系，而地球没动更没受其它力（理想化情况），所以地球是惯性参考系，而飞船一定在一个过程中会受到一个力这样才能回来，所以是非惯性参考系。如果不转弯那两个参考系等效无法分辨，完全对称，但一转弯使得对称性失去，可以区分了，明白了吗？
我会尽快帮楼主解决第一个问题的，相信我。
对于楼下的回答我是相当佩服的，我甘败下风。不过我还是要对我的回答进行补充说明。对于楼下回答的第一个问题我也继续有疑问，这话和楼主说的不是一个意思吗？对楼主的问题也并没有解决。根据狭义相对论原理，半径因为和运动方向垂直而没有减小，但周长不同，周长的运动方向是自身的切线方向，自身每一点与运动方向相同，那就是说周长自身也会发生长度收缩，而量尺也会发生长度收缩，那怎么测量出它超长呢？这个问题我查了，貌似科学界也没有个定论，这里我不讲了。
对于第二个问题楼下的用数学形式证明了，我在这就不多说了。不过我将我的说法补充下，方便楼主理解。这个过程中并不主要是广义相对论效应，而是狭义相对论的时间变慢效应。我在前面说明了，这个过程主要是确定谁在接近光速运动，而且前面我也说明如何确定。确定谁接近光速运动后，那么就可以用狭义相对论中的时间变慢效应计算接近光速运动的飞船时间变慢多少了。

我是楼主，应为“补充问题”的篇幅限制，只能盖楼提出疑问。
很佩服sqlchitao的详细讲解。对于双生子佯谬，我总结一下我对你们回答的理解，看是否正确。数学上当让可以通过坐标变化来计算最终谁年轻，但从物理上思考，应先如吴越之梦说的，确定自己是否经历过加速过程，这个可通过实验来判断自身所处参考系是否惯性系。当经历过加速过程后，最终停到另一个惯性系时，自己的年龄不变，但是时间标准将遵循对方的，也就是说，本来看到的对方年轻，可是由于自身的变速，对方将迅速衰老。 确定是否经历加速运动是必须的，如果如sqlchitao解释，瞬时变速，“完全”不考虑加速运动，也是不行的吧？因为身处飞船的人同样感到A瞬时变速的自己坐标系，还是完全对称。所以有必要确定到底谁经历过变速。
对sqlchitao补充的圆周率解释我再思考理解以下。不过一个简单的问题却难以理解，你的例子（摆一圈尺字然后旋转）我也思考过，可是如何理解在我们的世界中，这一圈尺子的周长变短，而直径不变？旋转起来的尺子是个什么样子的圆周？
另外如何理解广义相对论中对引力场造成时钟变慢，尺缩等效应？我知道的经典例子是，宇宙电梯中光非直线传播，得出引力场和加速系等效。但是时钟变慢来自这个例子，旋转圆盘上有加速度，所以等效为引力场，然后说外边缘速度快，根据狭义相对论所以时钟慢，而这里加速度大，等效为引力场强，得出引力场强的地方时钟慢。请问这例子对吗？如果对，那么引力场造成时钟变慢的根源岂不是和狭义相对论一致了吗？ 那么我的疑问是，旋转圆盘边缘的时钟之所以慢，到底是因为它的速度快，还是因为它的加速度大？还是都有？两个原因要一起考虑吗？

因为地球的质量大，而火箭质量小，不仅是速度的的问题，和所在的引力场有关系，就是说时间和质量有关。