为什么所有多面体的顶点数+面数-棱数=2

lz您好
这个问题(欧拉定理)可以用数学归纳法证明
顶点最少的凸正对面体是4面体
棱数=6，面数=4，顶点数=4
此时4+4-6=2符合题意
设凸n=k面体仍然满足欧拉公式
那么当n=k+1时
设其中一个面为p边形，我们在这个面外取一点q，连接q与这个p变形所有顶点
q与原来的立体即是一个k+1面体，这个变化过程中原来k面体的一个面消亡，取而代之的是一个新的顶点q，以及q与p边形各顶点连接形成的p个棱，p个面
也即面数增加p-1，顶点增加1个，棱增加p个
于是合计新的顶点+面数-棱数的变化量是0，结果仍然是2
也即欧拉公式对凸k+1面体仍然成立
至此证明欧拉对任意的n面体均成立
正n面体是特殊的n面体，所以当然满足欧拉

用数学归纳法证明，
假设n面体式子成立，则n+1面体可以看成是把n面体的一个顶点削成面而成的，新得到的面假设是x边形，定点数+x-1，棱+x，面+1，式子仍成立，得证

欧拉公式，你可以去百度查查看。
V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系
V+F-E=2
这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。