能不能用通俗的语言说明FWL定理

FWL定理主要解决的是二元回归中的参数估计问题：当二元回归（y=b1X1+b2X2+μ）中两个自变量本身可能会相互影响时，参数估计会存在偏差，进而造成计量结果的不准确。因此如何在这种情况下对参数进行更好的估计呢？计量学家就找到了一种神奇的方式，可以剔除一个变量对另一个变量的影响，对参数进行更为准确的估计。

在一元回归中，系数β的参数估计是：

现在在FWL定理的意思是，如果我们想对X2的系数进行参数估计，那么它的形式仍然可以写作：


其中


可以看出b2的表达形式已经和一元回归的非常接近了，只不过我们还需要证明X2※和X1没有什么关系。其实M1是一个投影矩阵（这个概念的解释又是另外一个问题了，这里就不展开了），相当于X2对X1做回归之后的残差生成矩阵（同上，这个概念的解释就不展开了，但是并不影响后面的理解；这个概念我可能说得不准确，因为我看的是英文版，英文教材里面M1矩阵叫做residual maker，我不太清楚对应的规范中文翻译），也就是说M1只和一个由残差组成的矩阵有关，和X1本身无关，所以X2※里面不含X1对X2的影响；同理，也可以知道y※里面也不含X1的影响。所以b2的表达式里面只含有和X2相关的因素，因此通过FWL定理，我们就可以神奇般地剔除一个变量对另一个变量的影响，对参数进行更为准确的估计。