矩阵乘积的秩不大于各矩阵的秩 解释

两个矩阵相乘可能使某一行或者某一列为零，从而是秩减小，但是原来是零的一行或者一列乘过以后还是零，所以秩不可能增大，只会不变或者减小。

证：由于K是满秩方阵，因此可逆，存在K逆，等式两边同时左乘K逆，得

K逆( )=( )，第一个括号里是beta那个向量组，第二个括号里是alpha那个向量组

这样就说明alpha那个向量组可由beta那个向量组线性表示，因此两向量组可以互相线性表示，所以两向量组等价，由于等价向量组秩相同，因此beta那个向量组的秩也是s，因此beta向量组线性无关。

扩展资料：

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

参考资料来源：百度百科-矩阵的秩

两个矩阵相乘可能使某一行或者某一列为零，从而是秩减小，但是原来是零的一行或者一列乘过以后还是零，所以秩不可能增大，只会不变或者减小

我的论文正好涉及到，你看看：