反函数存在定理的证明

反函数定理说明如果从Rn的一个开集U到Rn的连续可微函数F的全导数在点p可逆（也就是说，F在点p的雅可比行列式不为零），那么F在点p的附近具有反函数。也就是说，在F(p)的某个邻域内，F的反函数存在。而且，反函数F-1也是连续可微的。在无穷维的情况中，需要弗雷歇导数在p附近具有有界的反函数。

最后，定理说明：这个公式还可以从链式法则推出。链式法则说明，如果G和H是两个函数，分别在H(p)和p具有全导数，那么：

J(G∘H)(P)=JG(H(P))*Jh(P)

设G为F，H为F-1，(G∘H)就是恒等函数，其雅可比矩阵也是单位矩阵。在这个特殊的情况中，上面的公式可以对Jf-1(F(p))求解。注意链式法则假设了函数H的全导数存在，而反函数定理则证明了F-1在点p具有全导数。

F的反函数存在，等于是说方程组yi = Fj(x1,...,xn)可以对x1,...,xn求解，如果我们把x和y分别限制在p和F(p)的足够小的邻域内。

扩展资料：

反函数性质

（1）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（2）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（3）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（4）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；

（5）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；

（6）反函数是相互的且具有唯一性；

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；

参考资料来源：百度百科-反函数定理

参考资料来源：百度百科-反函数

反函数存在性定理：

若函数 y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df 是严格单调增加（减少）的，则存在它的反函数。 

x=f1(y)：Rf→Xx=f1(y)：Rf→X，并且 f1(y)f1(y) 也是严格单调增加（减少）的。

证明：

不妨设 y=f(x)，x∈Dfy=f(x)，x∈Df 严格单调增加，可知 ∀x1，x2∈Df，x1

∀y1，y2∈Df−1=Rf，∀y1，y2∈Df−1=Rf，设 x1=f−1(y1)，x1=f−1(y1)， x2=f−1(y2)，x2=f−1(y2)，则 y1=y2⇒x1=x2，y1=y2⇒x1=x2，否则 

（1）x1

（2）x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2x1>x2⇒y1=f(x1)>f(x2)=y2，

因此 f−1(y)f−1(y) 也是严格单调增加（减少）的。

扩展资料：

反函数的性质介绍：

1、原函数的定义域、值域分别是反函数的值域、定义域。在求原函数的反函数及反函数的定义域、值域的有关问题时，如能充分利用这条性质，将对解题有很大帮助。

2、若y=f⁻¹（x）是函数y=f（x）的反函数，则有f（a）=b；f⁻¹（b）=a。

从整个函数图像来考虑，是指y=f（x）与其反函数y=f⁻¹（x）的图像关于直线y=x对称；从图像上的点来说，是指若原函数过点（a，b），则其反函数必过点（b，a）。

3、单调函数一定存在反函数，且反函数与原函数的单调性一致。在定义域上的单调函数一定存在反函数，但在定义域上非单调函数未必没有反函数，或者说有反函数的原函数不一定是单调函数。

一个函数有反函数，只要证明这个函数在定义域内的单调性一致就可以了