求下列幂级数的和函数 ∑(n=1,∞) x^n⼀n(n+1)

令f(x)=∑x^n/n(n+1)，则f'(x)=∑x^(n-1)/(n+1)=1/x²∑x^(n+1)/(n+1)
令g(x)=∑x^(n+1)/(n+1)，则g'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x), 收敛域为|x|<1
积分得：g(x)=C-x-ln(1-x)

因为g(0)=0, 故有C=0, 得g(x)=-x-ln(1-x)，故有f'(x)=1/x²g(x)=-1/x-1/x²ln(1-x)

积分得：f(x)=C-ln|x|-∫1/x²ln(1-x)dx=C-ln|x|-[-1/xln(1-x)-∫1/x(1-x)dx]=C-ln|x|+1/xln(1-x)+ln|x|-ln(1-x)=C+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)
由于f(0+)=0, 得C-1=0, 即C=1，从而f(x)=1+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)

扩展资料

幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。

幂级数的和函数的性质

性质一：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上连续。

性质二：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域I上可积，并有逐项积分公式

逐项积分后所得的幂级数和原级数有相同的收敛半径。

推论：幂级数  的和函数s（x）在其收敛域内可逐项积分任意次。

参考资料百度百科-幂级数

令和函数为f（x），则[x·f(x)]''=∑（n=1，∞）x^(n-1)=1/(1-x)
然后积分两次
第一次积分∫（1/(1-x))=-ln(1-x) (|x|<1),当x=0时，[x·f(x)]'=0
第二次积分∫【-ln（1-x)】=-x·ln(1-x)-∫x/(1-x)=(1-x)·ln(1-x)+x，这里用到了分部积分法，并注意初始值当x=0时，x·f(x)=0
因此f（x）=1-ln（1-x)+[ln(1-x)]/x ,|x|<1

令f(x)=∑x^n/n(n+1)
则f'(x)=∑x^(n-1)/(n+1)=1/x²∑x^(n+1)/(n+1)
再记g(x)=∑x^(n+1)/(n+1)
则g'(x)=∑x^n=x/(1-x)=-1+1/(1-x), 收敛域为|x|<1
积分得：g(x)=C-x-ln(1-x)
因为g(0)=0, 故有C=0, 得g(x)=-x-ln(1-x)
故有f'(x)=1/x²g(x)=-1/x-1/x²ln(1-x)
积分得：f(x)=C-ln|x|-∫1/x²ln(1-x)dx
=C-ln|x|-[-1/xln(1-x)-∫1/x(1-x)dx]
=C-ln|x|+1/xln(1-x)+ln|x|-ln(1-x)
=C+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)
由于f(0+)=0, 得C-1=0, 即C=1
从而f(x)=1+(1/x)ln(1-x)-ln(1-x)

简单计算一下即可，答案如图所示