设函数 f(x) = (1 + 1/x)^x
首先证明当 x 趋向正无穷大时，该函数有极限。其次求该极限。
取x为整数n的情况，利用二项式定理
f(n) = (1+1/n)^n
=（k从0到n的求和）∑n(n-1)(n-2)……(n-k+1)/(k!*n^k)
=(k从0到n的求和)∑(1/k!)*(1-1/n)(1-2/n)……[1-(k-1)/n]
同理写出f(n+1)的展开式，容易看出 f(n+1) > f(n)
因此 f(n)是单调递增函数
同时从f(n)的展开表达式还可以得到
f(n) ≤ 1 + 1 + 1/2！ + 1/3！ + …… + 1/n!
再利用 n! > 2^(n-1) ，。。。（此定理的证明从略）
f(n) < 2 + 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n-1)
= 3 - 1/2^(n-1) < 3
综上所述，f(n)随n单调递增，同时有界。因此 f(n)有极限。
之后利用初等函数中的夹挤定理，又可以进一步证明 f(x) 与f(n)类似。于是定义 x趋于正无穷大时，f(x)极限值为 e。
通过对 x取一个很大的数，可以计算出 e。x取得越大，e值越精确。
e≈2.7182818284……
e 值是这样定义出的。进一步研究又表明e值有一些有趣的数学性质。
例如对于以a为底的对数函数 f(x)=loga(x)求微分，
其结果为 f'(x)= [loga(e)]/x
这个结果的简单证明过程：
f'(x) = lim [f(x+Δx) - f(x)]/Δx 。其中 Δx 趋向0。
代入 f(x)及 f(x+Δx)表达式后，
f'(x)= （1/x) * lim loga(1+Δx/x)^(Δx/x)
f'(x) = (1/x) * lim loga(1 +1/z)^z ，其中z趋向正无穷大
所以
f'(x)=(1/x)* loga(e)
然后在利用这个结果以及反函数的微分，可以证明 指数函数的微分 为
f(x) = a^x
f'(x) = loge(a) * a^x
因此定义 loge(a) = ln a
自此出现了自然对数。
另外从 (a^x)' = lna * a^x 可以推出 e^x 的导数恰好是其自身。
一种快速判断分子和离子构型的方法
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