116问答网 > 已知n阶矩阵A，B，且R(A)＋R(B)小于n，证明齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0有非零公共解。

已知n阶矩阵A，B，且R(A)＋R(B)小于n，证明齐次线性方程组Ax＝0和Bx＝0有非零公共解。

2025-04-14 09:14:10

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回答1：

R(A)＋R(B)则R(A),R(B)因此齐次线性方程组Ax=0，和Bx=0，都必有非零解。
且非零解中基础解系（向量组1，向量组2），分别为
n-R(A)，n-R(B)个解向量。

下面证明这两个基础解系，第1个基础解系中部分解向量，必然与第2个基础解系中部分解向量线性相关。

用反证法：假设不存在线性相关的解向量，则向量组1、2合成的大向量组，
n-R(A)+n-R(B)个解向量都是线性无关的。
由于n-R(A)+n-R(B)=2n-(R(A)+R(B))>n
因此该向量组秩>n，而这是不可能的，因为向量是n维的，因此假设不成立。
因此，第1个基础解系中部分解向量，必然与第2个基础解系中部分解向量线性相关。
从而必然存在非零向量，可以由第1个基础解系中部分解向量表示，也可以由第2个基础解系中部分解向量表示，即他们有公共非零解。