大学数学微积分？

首先，根据题目的条件可以判断：

函数为凸函数

其次，由凸函数的性质，其二阶导数是≥0的。

关于这个定义的证明在数学分析教材里面有相关的介绍。而高等数学教材里用的则是定义2。

（a）不妨令x<=y
因为rx+(1-r)y-x=(r-1)x+(1-r)y=(1-r)(y-x)>=0
所以x<=rx+(1-r)y
根据拉格朗日中值定理，存在u∈(x,rx+(1-r)y)，使得
[rx+(1-r)y-x]f'(u)=f[rx+(1-r)y]-f(x)
(1-r)(y-x)f'(u)=f[rx+(1-r)y]-f(x)
同理，rx+(1-r)y<=y，存在v∈(rx+(1-r)y,y)，使得
[rx+(1-r)y-y]f'(v)=f[rx+(1-r)y]-f(y)
r(y-x)f'(v)=f(y)-f[rx+(1-r)y]
所以r(1-r)(y-x)f'(u)-(1-r)r(y-x)f'(v)=rf[rx+(1-r)y]-rf(x)-(1-r)f(y)+(1-r)f[rx+(1-r)y]
r(1-r)(y-x)[f'(u)-f'(v)]=f[rx+(1-r)y]-rf(x)-(1-r)f(y)
根据题意，f[rx+(1-r)y]<=rf(x)+(1-r)f(y)
所以r(1-r)(y-x)[f'(u)-f'(v)]<=0
根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(u,v)，使得：(u-v)f''(ξ)=f'(u)-f'(v)
所以r(1-r)(y-x)(u-v)f''(ξ)<=0
f''(ξ)>=0
即存在ξ∈(x,y)，使得f''(ξ)>=0
由x,y的任意性及实数的完备性，可知对∀x∈R^n，有f''(x)>=0

我也不知道啊啊啊啊