最后一步错了,写到倒数第二步就可以了,不用写最后一步。
lim(x→0,y→0)(x+y)sin[1/(x+y)]
因为(x+y)是无穷小,sin[1/(x+y)]是有界函数,无穷小与有界函数之积仍然是无穷小,所以结果为0,即lim(x→0,y→0)(x+y)sin[1/(x+y)]=0
你最后一步之所以错了,是因为你使用重要极限lim(x→0)sinx/x=1时忽略了一个细节。那就是x必须趋于0,而在lim(x→0,y→0)sin[1/(x+y)]/[1/(x+y)]中,[1/(x+y)]这个整体就相当于重要极限lim(x→0)sinx/x=1中的x,而[1/(x+y)]趋于无穷大,不满足趋于0的条件,所以这个地方不能使用重要极限。
最后一步,分母是无穷大,分子是有界值,极限应为 0