最后一步错了，写到倒数第二步就可以了，不用写最后一步。
lim(x→0,y→0)(x+y)sin[1/(x+y)]
因为(x+y)是无穷小，sin[1/(x+y)]是有界函数，无穷小与有界函数之积仍然是无穷小，所以结果为0，即lim(x→0,y→0)(x+y)sin[1/(x+y)]=0
你最后一步之所以错了，是因为你使用重要极限lim(x→0)sinx/x=1时忽略了一个细节。那就是x必须趋于0，而在lim(x→0,y→0)sin[1/(x+y)]/[1/(x+y)]中，[1/(x+y)]这个整体就相当于重要极限lim(x→0)sinx/x=1中的x，而[1/(x+y)]趋于无穷大，不满足趋于0的条件，所以这个地方不能使用重要极限。
最后一步，分母是无穷大，分子是有界值，极限应为 0
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