关于函数极限的局部保号性

“保号性”的说法，是汉语微积分教学中，穿凿附会、虚张声势的说法。
它刻意回避问题的本质，不是单刀直入、直面主题，而是有意玩弄无聊
的文字游戏。
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【一、对于“保号性”的剖析】
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1、点是没有大小尺度的，两个点无论靠得多近，在两点连线的中间，
都可以插入无穷多个点。
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2、对于连续函数，由于连续性，在函数值为零的点跟函数值不为零的点
之间就可以插入无穷多个函数值不为零的点，它们具有相同的正负号。
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3、我们的教学，历来喜欢死记硬背，喜欢夸大其词，喜欢穿凿附会。所
以，我们就刻意回避〖函数连续〗的本质，与〖点的可插入〗的特性，
给出一个莫名其妙的名称“保号性”。
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既然可插入，
在一个函数值为正的点附近，就自然而然地可插入无数个函数值为正的点；
同样地，
在一个函数值为负的点附近，就自然而然地可插入无数个函数值为正的点；
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我们神乎其神、神秘兮兮地夸张为保号！
为什么保？怎样保？谁来保？保什么？实质究竟是什么？
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就这样，主题、实质被忽悠了，玩弄术语的结果，是直觉、本能就丧失了。
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【二、回答楼主的问题】
到这里，楼主应该已经完全明白了。
只要 ε 足够的小，不管是函数值，还是数列的值，从此之后就具有了同样正负号。
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ε 只能小，不能大！
只有小，才能具有极限的根本意义，极限的根本意思是【趋近 = tendency】。
这个趋近，不是一般的趋近，不是大致的趋近，而是无止境的趋势！
而是极限值跟函数值之差无止境地趋于零的趋近！说无止境的逼近、迫近。
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汉语的微积分教学，历来对趋势大大咧咧、极其粗燥！
汉语的趋势的含义，不及英文的 tendency 给人直觉深刻。
这是语言特色所决定的，同样汉语含义淋漓尽致的词汇，英文也经常会无法确切领会。
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楼主如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。