证明三角形的中位线平行第三边且等于第三边的一半

如图，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。

求证DE平行且等于BC/2。

过C作AB的平行线交DE的延长线于F点。

∵CF∥AD，

∴∠BAC=∠ACF。

∵在△ADE和△CFE中，

AE=CE、∠AED=∠CEF、∠BAC=∠ACF，

∴△ADE≌△CFE（ASA）。

∴AD=CF DE=EF。

∵D为AB中点，

∴AD=BD。

∵AD=CF、AD=BD，

∴BD=CF。

∵BD∥CF、BD=CF，

∴BCFD是平行四边形。

∴DF∥BC且DF=BC。

∵DE=EF，

∴在平行四边形DBCF中DE=BC/2。

∴三角形的中位线定理成立。

扩展资料：

连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。

其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。

参考资料来源：百度百科-中位线

已知:DE是△ABC的中位线.

求证:DE//BC,DE=1/2 BC 

证明:延长DE至F,使EF=DE,连接CF 

∵(因为)AE=CE,角AED=角CEF,

∴(所以)△ADE≌△CFE,

∴AD=CF,角ADE=角F 

∴BD//CF 

∵AD=BD 

∴BD=CF 

∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 

∴DF//BC,DF=BC 

∴BE//CB,DE=1/2 BC

扩展资料

注意：

要把三角形的中位线与三角形的中线区分开。三角形中线是连接一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。

梯形的中位线是连接两腰中点的线段而不是连接两底中点的线段。

两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线。

已知:DE是△ABC的中位线.

求证:DE//BC,DE=1/2 BC 

证明:延长DE至F,使EF=DE,连接CF 

∵(因为)AE=CE,角AED=角CEF,

∴(所以)△ADE≌△CFE,

∴AD=CF,角ADE=角F 

∴BD//CF 

∵AD=BD 

∴BD=CF 

∴四边形BCFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形) 

∴DF//BC,DF=BC 

∴BE//CB,DE=1/2 BC