二重积分，极坐标如何化成直角坐标

化解过程直接套用公式，会很快。下面是解决方法：

把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ,θ),则它们之间的关系为x=ρcosθ,y=ρsin θ.另一种关系为ρ2=x2+y2,tanθ= y/x(x≠0).

把直角坐标系和极坐标系放在一起，我们更容易观察它们之间的关系，如下图所示。

用上图组合坐标系把极坐标画出，

根据上式，可以将二重积分从直角坐标变换为极坐标，如下：

进行简单分析即可得出直角坐标关系。

扩展资料：

极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。

比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。（−3,240°） 和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240° − 180° = 60°）。

极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ ± 2kπ）或（−r，θ ± (2k+ 1)π），这里k是任意整数。[7] 如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位：

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigation）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

两坐标系转换：

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值

x = rcos（θ），

y = rsin（θ），

由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：

θ = arctan(y/x)

在x = 0的情况下：若y为正数θ = 90° （  rad)；若y为负数，则θ = 270° (  rad)。

参考资料：百度百科-极坐标

r ≤ 1/ cosθ  等价于  rcosθ ≤ 1

而  rcosθ  其实就是直角坐标系中的  x

至于 0≤ θ ≤ 45°  就是  y = x 直线的下方部分（这道题还更要求在第一象限部分）