高数的一个简单的不定积分

法1：对sinx泰勒展开再除x有：sinx/x=1-x^2/3!+x^4/5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-2)/(2m-1)!+o(1) 两边求积分有：∫sinx/x·dx =[x/1-x^3/3·3!+x^5/5·5!+…+(-1)^(m-1)x^(2m-1)/(2m-1)(2m-1)!+o(1)] 从0无穷定积分 则0x(x→00）（里x大常数任意取）代入上式右边并相减通过计算机即得结果。
法2：或者考虑广义二重积分 I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy D 其D = [0,+∞)×[0,+∞) 今按两种同次序进行积分得 I=∫sinxdx ∫e^(-xy)dy 0 +∞ 0 +∞ =∫sinx·(1/x)dx 0 +∞ 另方面,交换积分顺序有：I=∫∫ e^(-xy) ·sinxdxdy D =∫dy ∫e^(-xy)·sinxdx 0 +∞ 0 +∞ =∫dy/(1+y^2）=arc tan+∞-arc tan0 0 +∞ =π/2 所：∫sinx·(1/x)dx=π/2 这个是0到无穷的定积分的数值

嗯～～这道题一点也不简单

sinx/x 的不定积分是不能表示成初等函数形式的(理论上可以证明）,但是sinx/x 从[0,正无穷] 的广义积分是可以计算的,其值为π/2（利用复变函数知识可以算出）.