求微分方程的通解 (x-2y)dy+dx=0

解：设y=xt，则dy=tdx+xdt

(x+y)dy+(x-y)dx=0

==>(1+t)(tdx+xdt)+(1-t)dx=0

==>(t²+1)dx+x(t+1)dt=0

==>ln|x|+∫t/(t²+1)dt+∫1/(t²+1)dt=ln|C| (C是积分常数)

==>ln|x|+1/2∫d(t²+1)/(t²+1)+arctant=ln|C|

==>√(x²+y²)=Ce^(arctant) (C是积分常数)

∴(x-2y)dy+dx=0的通解是Ce^(arctant) 

扩展资料

性质：

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。

在常微分方程方面，一阶方程中可求的通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，位数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。

微分方程的通解 (x-2y)dy+dx=0的通解为y=-ln|(2y-x-2)|+C。

解：因为(x-2y)dy+dx=0，那么可得，

dy/dx=-1/(x-2y)，则1/(dy/dx)=2y-x。

令dy/dx=p，那么可得，

1/p=2y-x。

分别对等式1/p=2y-x两边求x的导数可得，

-1/P^2*dp/dx=2dy/dx-1，即-1/P^2*dp/dx=2p-1，

化简可得，dp/(p^2*(1-2p))=dx

等式两边分别积分可得，

-1/p+2ln|p/(1-2p)|=x+C

又p=dy/dx=-1/(x-2y)，代入可得，

y=-ln|(2y-x-2)|+C。

即 (x-2y)dy+dx=0的通解为y=-ln|(2y-x-2)|+C。

扩展资料：

微分方程的解

1、一阶线性常微分方程的解

对于一阶线性常微分方程y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解为y=C(x)*e^(-∫p(x)dx)。然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

2、二阶常系数齐次常微分方程的解

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解。

对于二阶常系数齐次常微分方程y''+py'+qy=0，可求得其通解为y=c1y1+c2y2。

然后可通过其特征方程r^2+pr+q=0来求解二阶常系数齐次常微分方程的通解。

（1）当r1=r2，则有y=(C1+C2*x)e^(rx)，

（2）当r1≠r2，则有y=C1*e^(r1x)+C2*x*e^(r2x)

（3）在共轭复数根的情况下，y=e^(αx)*(C1*cos(βx)+C2*sin(βx))

参考资料来源：百度百科-微分方程

如图