设X1，X2是独立同分布的正值连续型随机变量，试证明：E（X1⼀(X1+X2)）=E(X2⼀(X1+X2))

解：本题利用了独立同分布求解。

因为（Xi/(X1+X2+……+Xn)）的绝对值小于等于1,所以它的期望存在。

由对称性,E[(X1)/(X1+...Xn)]=E[(X2)/(X1+...Xn)]=...E[(Xi)/(X1+...Xn)]=...=E[(Xn)/(X1+...Xn)]

而同时E[(X1+...Xn)/(X1+...Xn)]=1,所以E[(X1)/(X1+...Xn)]=1/n,

又因为X1,X2...Xn是独立同分布,

所以E[(X1+...Xk)/(X1+...Xn)]=E[(X1)/(X1+...Xn)]+E[(X2)/(X1+...Xn)]+...+E[(Xk)/(X1+...Xn)].

所以E（X1/(X1+X2)）=E(X2/(X1+X2))成立。

扩展资料：

独立同分布的性质：

1、如果X, Y独立同正态分布，则X+Y还是正态分布。如果没有独立条件，则X+Y不一定是正态分布。

2、如果X, Y独立同普松分布，则X+Y还是普松分布。如果没有独立条件，则X+Y不一定是普松分布。

3、 如果X, Y独立同二项式分布，则X+Y还是二项式分布。如果没有独立条件，则X+Y不一定是二项式分布。

参考资料来源：百度百科-独立同分布