电势能和电荷分布的问题(答得好后追加20分)

楼上回答基本正确了

我补充一点点，关于你的第三问，注意电势/电势能的分布并不是由电荷完全决定的，因此不存在电荷分布不均匀，电势分布就不均匀这种说法
电势能是导体的电荷以及三维空间左边x,y,z的函数
场强不是电势能的梯度场，是电势的梯度场，电势是标量，不过电场强度是矢量
对标量场求梯度即为矢量场

即电势的梯度方向就是电场的方向，也就是变化最快的方向

此外，电场在导体表面的分布具有如下规律：垂直于导体表面有电场分量，而切向无场强分量
切向场强满足E=0，包括Ex=0,Ey=0,Ez=0,对此进行积分，即可得V（x,y,z）=C为一常数

PS：不清楚你处于何种教育程度，觉得难以理解就过，嘿嘿

先回答第二问:带电导体处于静电平衡时,内部的场强处处为零.假设内部存在电荷,那么可以取一包含电荷的闭合曲面,则曲面上必有至少一点场强不为零.所以电荷只能分布于表面.(Gauss定理)
再回答第一问:根据导体的几何形状和库仑定律可以建立方程,方程的解即电荷分布(已经依据以上结论设成面电荷密度)一般需要应用计算机求近似解,但是仍然可以对解的性质进行讨论.其中一个讨论结果就是,电荷密度与导体曲面曲率半径成正比,也就是电荷总是聚集在尖端.(你要是有兴趣先学好高数,特别是泛函分析吧,数学是本质,物理只是个具体模型)
最后回答第三问:这个问题直接回答很困难,但是电势能的梯度场就是是电场,如果电场在某一区域内处处为零,那么电势能场的变化量处处为零.