sinx的四次方求不定积分？？ 过程

∫(sinx)^4dx的不定积分为3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C。

解：∫(sinx)^4dx

=∫(sinx)^3*sinxdx

=-∫(sinx)^3*dcosx

=-cosx*(sinx)^3+∫cosxd(sinx)^3

=-cosx*(sinx)^3+3∫cosx*cosx*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(cosx)^2*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(1-(sinx)^2)*(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx-3∫(sinx)^4dx

则，4∫(sinx)^4dx=-cosx*(sinx)^3+3∫(sinx)^2dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2∫(1-cos2x)dx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/2∫cos2xdx

=-cosx*(sinx)^3+3/2*x-3/4*sin2x+C

=3/2*x-cosx*(sinx)^3+3/2*sinx*cosx+C

得，∫(sinx)^4dx=3/8*x-1/4cosx*(sinx)^3+3/8*sinx*cosx+C

扩展资料：

1、分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。

2、分部积分法的公式为：∫u（x）v'（x）dx=∫u（x）dv（x）=u（x）*v（x）-∫v（x）du（x）

3、分部积分中常见形式

（1）求含有e^x的函数的积分

∫x*e^xdx=∫xd(e^x)=x*e^x-∫e^xdx

（2）求含有三角函数的函数的积分

∫x*cosxdx=∫x*d(sinx)=x*sinx-∫sinxdx

（3）求含有arctanx的函数的积分

∫x*arctanxdx=1/2∫arctanxd(x^2)=1/2(x^2)*arctanx-1/2∫(x^2)d(arctanx)

参考资料来源：百度百科-分部积分法

(sinx)^4

= (sinx^2)^2

= ((1 - cos2x)/2)^2

= (1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4

= 0.25 - 0.5cos2x + 0.125(1 + cos4x)

= (cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8

∫ (sinx)^4dx

= ∫ ((cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8)dx

= ∫ ((cos4x)/8)dx - ∫ ((cos2x)/2)dx + ∫ (3/8)dx

= (1/32)∫ cos4xd4x - (1/4)∫ cos2xd2x + (3x/8)

= (sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C

扩展资料：

求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C就得到函数f(x)的不定积分。

证明：如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数。因此，当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C。

因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

参考资料：百度百科——不定积分

(sinx)^4
= (sinx^2)^2
= ((1 - cos2x)/2)^2
= (1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4
= 0.25 - 0.5cos2x + 0.125(1 + cos4x)
= (cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8

∫ (sinx)^4dx
= ∫ ((cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8)dx
= ∫ ((cos4x)/8)dx - ∫ ((cos2x)/2)dx + ∫ (3/8)dx
= (1/32)∫ cos4xd4x - (1/4)∫ cos2xd2x + (3x/8)
= (sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C
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原式=sin²x×sin²x=sin²x×(1-cos²x)=sin²x-sin²xcos²x
=0.5×(1-cos2x)-0.25sin²(2x)=0.5×(1-cos2x)-0.25×0.5(1-cos4x)
=0.375-0.5cos2x+0.25cos4x

对于sinx的4次方，要先知道两个公式sinx平方=1-cosx平方，cosx平方=（1+cos2x）/2，sinx平方=（1-cos2x）/2。高次先降次，然后反复用公式就行了