二次型化为标准型的步骤？

把二次型化为标准型的步骤：
1 构建二次型f的对称矩阵
2 计算出对称矩阵的特征值
3 根据x=Py,线性变换和解集单位正交化，可以求出正交变换
4 根据f=y^(T)Λy,可以求出标准型
5 根据yi=1/√(λi)zi，将标准型转换成规范型。
注：第三步如果题给没要求求出来，就没必要算。
参考：同济第四版线性代数第五章

1、含平方项的情形

用配方法化二次型f(x1,X2,X3)=X1^2-2X2^2-2X3^2-4X1X2+12X2X3为标准形

解: f=x1^2-2x2^2-2x3^2-4x1x2+12x2x3

--把含x1的集中在第一个平方项中, 后面多退少补

= (x1-2x2)^2 -6x2^2-2x3^2+12x2x3

--然后同样处理含x2的项

= (x1-2x2)^2 -6(x2-x3)^2+4x3^2

2、不含平方项的情形

比如 f(x1,x2,x3) = x1x2+x2x3

令 x1=y1+y2, x2=y1-y2

代入后就有了平方项, 继续按第一种情形处理

3、特征值方法

写出二次型的矩阵

求出矩阵的特征值

求出相应的特征向量

矩阵半正定和正定判定：

实对称矩阵A正定

<=>A合同于单位矩阵

<=>A的特征值都大于0

<=>X'AX的正惯性指数 = n

<=>A的顺序主子式都大于0

实对称矩阵A半正定

<=>A合同于分块矩阵(Er,O; O,O) , r

<=>A的特征值都大于等于0, 且至少有一个特征值等于0

<=>X'AX的正惯性指数 p < n.