何时函数的二阶混合偏导数会相等

1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。

     也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。

2、二阶混导相等的证明，有两种方法，

     A、根据偏导数的定义证明；

     B、运用导数中值定理证明。

     分别证明如下，如果看不清楚，请点击放大：

1、对于任何二元函数，只要二阶可导，混导就一定相等。也就是说，二阶混导的结果跟求导的顺序无关。

2、二阶混导相等的证明，有两种方法：

A、根据偏导数的定义证明；

B、运用导数中值定理证明。

代数记法：

二阶导数记作：

即y''=（y）。 

例如：y=x²的导数为y'=2x，二阶导数即y'=2x的导数为y''=2。

扩展资料：

二阶混合偏导数性质

（1）如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有：

f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f''(x)<0成立，那么上式的不等号反向。

几何的直观解释：如果一个函数f(x)在某个区间I上有f''(x)（即二阶导数）>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。

（2）判断函数极大值以及极小值。

结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于0，而二阶导数大于0时，为极小值点。当一阶导数等于0，而二阶导数小于0时，为极大值点；当一阶导数和二阶导数都等于0时，为驻点。

（3）函数凹凸性。

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内具有一阶和二阶导数，那么，

（1）若在（a,b)内f''(x)>0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的；

（2）若在（a,b)内f’‘(x)<0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的。

参考资料来源：百度百科--二阶导数

参考资料来源：百度百科--函数

核心的点和采纳的方法二是一样的

二阶混合偏导连续 --> 混合偏导相等，这个一定是正确的，但是条件可以更弱一点，即：
一阶可微 <--> 二阶混合偏导相等，我认为是正确的，原因是：格林公式以及积分与路径无关的条件。
可能有点问题：关于这个 <--> 符号，我觉得可能未必是充要条件，毕竟多元函数里没有多少充要条件。

扯犊子吧，相等的条件是二阶偏导数连续