线性代数，求特征值和特征向量

特征值  λ = -2， 3， 3，特征向量： (1    0    -1)^T、(3     0     2)^T。

解：

|λE-A| =

|λ-1       -1          -3|
| 0         λ-3         0|
|-2         -2           λ|

|λE-A| = (λ-3)*

|λ-1        -3|
|-2           λ|

|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2

特征值  λ = -2， 3， 3

对于 λ = -2， λE-A =

[-3      -1      -3]
[ 0      -5       0]
[-2      -2      -2]

行初等变换为 

[ 1       1         1]
[ 0       1         0]
[ 0       2         0]

行初等变换为 

[ 1       0         1]
[ 0       1         0]
[ 0       0         0]

得特征向量 (1    0    -1)^T。

对于重特征值 λ = 3， λE-A =

[ 2      -1      -3]
[ 0       0       0]
[-2      -2      3]

行初等变换为 

[ 2      -1      -3]
[ 0      -3       0]
[ 0       0       0]

行初等变换为 

[ 2       0      -3]
[ 0       1       0]
[ 0       0       0]

得特征向量 (3     0     2)^T。

答：特征值  λ = -2， 3， 3，特征向量： (1    0    -1)^T、(3     0     2)^T。

扩展资料

特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用

设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。

非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

矩阵的特征向量是矩阵理论上的重要概念之一，它有着广泛的应用。数学上，线性变换的特征向量（本征向量）是一个非简并的向量，其方向在该变换下不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。

|λI-A| = 

λ-1    -1    -3    

0    λ-3    0    

-2    -2    λ    

 = (λ-1)(λ-3)λ-2×3×(λ-3) = (λ-3)(λ+2)(λ-3) = 0
解得λ=-2，3（两重）

|λE-A| =
|λ-1 -1 -3|
| 0 λ-3 0|
|-2 -2 λ|
|λE-A| = (λ-3)*
|λ-1 -3|
|-2 λ|
|λE-A| = (λ-3)(λ^2-λ-6) = (λ+2)(λ-3)^2
特征值 λ = -2， 3， 3
对于 λ = -2， λE-A =
[-3 -1 -3]
[ 0 -5 0]
[-2 -2 -2]
行初等变换为
[ 1 1 1]
[ 0 1 0]
[ 0 2 0]
行初等变换为
[ 1 0 1]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特征向量 (1 0 -1)^T
对于重特征值 λ = 3， λE-A =
[ 2 -1 -3]
[ 0 0 0]
[-2 -2 3]
行初等变换为
[ 2 -1 -3]
[ 0 -3 0]
[ 0 0 0]
行初等变换为
[ 2 0 -3]
[ 0 1 0]
[ 0 0 0]
得特征向量 (3 0 2)^T.

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|A-λE|=
2-λ 3 2
1 8-λ 2
-2 -14 -3-λ
= -(λ-1)(λ-3)^2=0
解得特征值为1,3,3
1对应的特征向量：
(A-E)x=0
系数矩阵：
1 3 2
1 7 2
-2 -14 -4
初等行变换结果是：
1 0 2
0 1 0
0 0 0
所以特征向量是[-2 0 1]^T
3对应的特征向量：
(A-3E)x=0
系数矩阵：
-1 3 2
1 5 2
-2 -14 -6
初等行变换结果是：
1 1 0
0 2 1
0 0 0
所以特征向量是[1 -1 2]^T

一个线性方程组的基础解系是这样的一个解向量组：
1.这个解向量组是线性无关的；
2.方程组的任意一个解向量都可由这个线性无关的解向量组线性表示.

在线性方程组Ax=0中，若矩阵A的秩为r, 则基础解系所含解向量的个数是n-r.
在这里，矩阵A的秩为1，则基础解系所含解向量的个数应该是2个解向量，一个解向量是不能构成一个基础解系的.

另外你给出的那个解正好可以用X1,X2这个基础解系线性表示.X1+X2就是你给出的那个解.

原方程组和x1-x2+x3=0是同解的，若令x2=k1,x3=k2,则x1=k1-k2,
于是方程组的通解为(k1-k2,k1,k2)=k1(1,1,0)+k2(-1,0,1).
可见基础解系就是让自由未知量x2和x3轮流取1，0后再确定出x1所得到的.

一般情况下若线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩为r，则线性方程组有n-r个自由未知量，故基础解系所含解向量的个数是n-r个.让这n-r个自由未知时中的一个取1，其它自由未知时取0，这样可以得到一个解向量。用这样的方法可以得到n-r个解向量，也就得到了基础解系.