大学生数学竞赛高等数学关于积分函数求导的问题

F(r)=∫e^(rcosθ)cos(rsinθ)dθ
使用数学归纳法证明
F'(r)=∫(e^(rcosθ)cos(rsinθ))'dθ
=∫[e^(rcosθ)cosθcos(rsinθ)-e^(rcosθ)sin(rsinθ)cosθ]dθ
=∫e^(rcosθ)[cosθcos(rsinθ)-sin(rsinθ)sinθ]dθ
=∫e^(rcosθ)cos(θ+rsinθ)dθ
假设F^(k)(r)=∫e^(rcosθ)cos(kθ+rsinθ)dθ
F^(k+1)(r)=∫[e^(rcosθ)cos(kθ+rsinθ)]'dθ
=∫[e^(rcosθ)cosθcos(kθ+rsinθ)-e^(rcosθ)sin(kθ+rsinθ)sinθ]dθ
=∫e^(rcosθ)cos((k+1)θ+rsinθ)dθ
所以n=k+1时也成了，综上，n∈N*都成立。
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下面通过计算积分∫e^[r(cosθ+isinθ)dθ求解F(r)，设z=e^(iθ)，dz=izdθ。
∫e^[r(cosθ+isinθ)dθ=∮e^(rz)/(iz)dz，积分曲线是|z|=1，逆时针方向。
e^(rz)/(iz)在|z|=1内部仅有z=0处是一阶极点，在z=0的留数是1/i=-i。
由留数定理可知∮e^(rz)/(iz)dz=2πi*-i=2π
然而∫e^[r(cosθ+isinθ)dθ=∫e^(rcosθ)[cos(rsinθ)+isin(rsinθ)]dθ=∫e^(rcosθ)cos(rsinθ)dθ+i∫e^(rcosθ)sin(rsinθ)dθ
对比可知∫e^(rcosθ)cos(rsinθ)dθ=2π，∫e^(rcosθ)sin(rsinθ)dθ=0。