已知关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0①的两实根的乘积等于1．（1）求证：关于x的方程（k-2）x2-2（k-m）x+

解答：证明：（1）∵方程①两实根乘积等于1，
∴m≠0，

1

m2

＝1，m＝±1，
经检验m=±1是方程的根．
当m=1时，x²+5x+1=0，符合题意．
m=-1时，x²+x+1=0，△=1-4＜0．
∴m=-1舍去，
∴m=1．
把m=1代入方程②，得（k-2）x²-2（k-1）x+（k+1）=0（k≤3）．
当k=2时，方程②为一元一次方程，?2x+3＝0，x＝

3

2

，有实根；
当k≤3且k≠2时，方程②为一元二次方程，（k-2）x²-2（k-1）x+k+1=0，
∵△=[-2（k-1）]²-4（k-2）（k+1）=4（k-1）²-4（k-2）（k+1）=4（k²-2k+1）-4（k²-k-2）=-4k+12，
又∵k≤3，
∴-4k≥-12，
∴-4k+12≥0，
∴方程②有实根．
综上，可知关于x的方程（k-2）x²-2（k-m）x+（k+m）=0（k≤3）有实数根；
（2）设x₁、x₂是方程②的两根，由题意，得
x₁²+x₂²=2x₁x₂①，x₁+x₂=

2(k?1)

k?2

②，x₁?x₂=

k+1

k?2

③，
由①得x₁²+x₂²-2x₁x₂=0，
∴（x₁-x₂）²=0，
∴x₁=x₂④．
把④式代入②，得2x₁=

2(k?1)

k?2

，∴x₁=

k?1

k?2

，
把④式代入③，得x₁²=

k+1

k?2

，
∴(

k?1

k?2

)2＝

k+1

k?2

，k≠2，(k?1)2＝(k+1)(k?2)，
∴k=3．
当k=3时，x₁=x₂=2．
∵△ABC三边均为整数，
∴设第三边为n，则2-2＜n＜2+2，
∴0＜n＜4．
∵n是整数，
∴n=1，2，3．
当n=2时，△ABC为等边三角形．
当n=1或3时，△ABC为等腰三角形，其中n=1时，是等腰锐角三角形；n=3时，是等腰钝角三角形．