如图所示，三角形ABC中，∠BAC=90度，AB=AC,BD是∠ABC的角平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于点E，直

证明：因为∠CEB=∠CAB=90°

所以：ABCE四点共元

又因为：∠AB E=∠CB E

所以：AE=CE

所以：∠ECA=∠EAC  

取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG

所以：∠GAB=∠ABG

而：∠ECA=∠GBA (同弧上的圆周角相等）

所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB

而：AC=AB

所以：△AEC≌△AGB

所以：EC=BG=DG

所以：BD=2CE

因为∠CAF=∠BEF，∠F=∠F，
所以 三角形ACF相似于三角形BEF, 有∠ABD=∠ACF,
又因为 ∠BAD=∠CAF, ∠ABD=∠ACF,
所以 三角形BAD相似于三角形CAF,
所以 BD/AB=CF/AC=CF/AB, 即 BD=CF
因为CF垂直于BE，BE平分角CBF，所以有
三角形CEB全等于三角形FEB, 所以有CE=EF,
即CF=2CE
就是 BD=CF=2CE

证明：因为∠CEB=∠CAB=90°
所以：ABCE四点共元
又因为：∠AB E=∠CB E
所以：AE=CE
所以：∠ECA=∠EAC
取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG
所以：∠GAB=∠ABG
而：∠ECA=∠GBA
所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB
而：AC=AB
所以：△AEC≌△AGB
所以：EC=BG=DG
所以：BD=2CE

解：延长CE、BA相交于点F．
∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°
∴∠EBF=∠ACF．
在Rt△ABD和Rt△ACF中
∵∠DBA=∠ACF，AB=AC
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（ASA）
∴BD=CF
在Rt△BCE和Rt△BFE中
∵BE=BE，∠EBC=∠EBF
∴Rt△BCE≌Rt△BFE（ASA）
∴CE=EF
∴ CE=1/2CF=1/2BD．
BD=2CE

∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵BD平分∠ABC
∴∠FBE=∠CBE
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE, BE=BE, ∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF, AB=AC, ∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF(ASA)
∴BD=CF
∴BD=2CE