lim[x→∞] (x+1⼀x-1)^x 求极限

结果为：e^2

解题过程如下：

令y=(x+1/x-1)^x lny=x[ln(x+1)-ln(x-1)]

limlny= limx[ln(x+1)-ln(x-1)]

=lim[ln(x+1)-ln(x-1)]/(1/x)

=lim[1/(x+1)-1/(x-1)]/(-1/x^2)

=lim{2x^2/(x^2-1)

=lim2/(1-1/x^2)=2

limlny=2=lnlimy

limy=e^2

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求函数极限的方法：

利用函数连续性，直接将趋向值带入函数自变量中，此时要要求分母不能为0。

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，因式分解，通过约分使分母不会为零。若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

采用洛必达法则求极限，当遇到分式0/0或者∞/∞时可以采用洛必达，其他形式也可以通过变换成此形式。符合形式的分式的极限等于分式的分子分母同时求导。

结果为：e

解题过程如下：

lim [x/(x-1)]^x

x→∞

=lim [(x-1+1)/(x-1)]^x

x→∞

=lim [1+1/(x-1)]^[(x-1)x /(x-1)]

x→∞

=lim e^[x /(x-1)]

x→∞

=e

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求数列极限的方法：

设一元实函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

1、函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)。

2、函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在。

3、函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。