高数定积分求面积问题

已知抛物线y=px²+qx；(p<0，q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切；且此抛物线与x轴所围

图形的面积为A；问p，q为何值时此面积达最大值，并求出此最大值。

解：令y=px²+qx=x(px+q)=0，得x₁=0，x₂=-q/p；

故抛物线与x轴所围图形的面积A：

将直线方程y=5-x代入抛物线方程得：5-x=px²+qx，即有px²+(q+1)x-5=0；

因为相切，故齐判别式∆=(q+1)²+20p=0............(2);

现在要求方程(1)在满足条件(2)的情况下求A的最大值，因此这是一个条件极值问题。

为此我们用拉格朗日乘数法求解。为照顾书写习惯，下面把A改名为z；q，p改名为x，y;

这样就有z=x³/6y²和条件：(x+1)²+20y=0；作函数F(x，y)=(x³/6y²)+λ[(x+1)²+20y];

令∂F/∂x=(x²/2y²)+2λ(x+1)=0......①；∂F/∂y=-(x³/3y³)+20λ=0......②；(x+1)²+20y=0.......③

三式联立求解，得：x=3，y=-4/5，zmax=225/32；【求解过程略】

即当q=3，p=-4/5时可获得面积A的最大值225/32；