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在空间直角坐标系中，为什么xoy面的法向量不能设成(x,y,1)?

2025-03-12 22:15:04

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回答1：

一堂公开课《空间向量的坐标运算》的改进和反思

前一阶段听了一位老师的试教课，然后与数学教研组的老师一起讨论并提出了思考和建议，授课老师参考建议在后面的公开课中作了改进并取得了较好的教学效果。下面将各环节的思考和改进的过程作一个简单的呈现，并简述对改进过程的反思。
一、引入
1、原来的教学安排：
复习：（1）
（2）平面向量：由可以得到其坐标表示

2、思考：能否创设有前后呼应有类比思想有数形结合思想而又切入知识结构实质的问题情境，使学生想要有空间直角坐标系并能建立？两个引入的情境设置建议：一是蚂蚁的位置确定或者是影子蚊子的位置确定；二是类比的问题情境，给出平面、空间几何问题，解决平面几何问题可以借助于平面向量的坐标运算，那么解决空间几何问题呢？
(问题2、）
3、改进后的教学设计：
（1）问题1、正方形ABCD中，E、F分别为BS与DC中点，求证：AE BF。（可借助平面向量的坐标运算来解决平面几何问题）

学生有几何和坐标运算两种方法，教师通过提问强调后一方法的实质：数形结合，其中通过向量的在坐标系下的坐标表示来连结；再让学生归纳后一解法的三个环节，一是建系，二是点、向量的坐标表示，三是由运算来解决问题。
（2）问题2、在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，求证：。
自然让学生类比问题1的解决想到需要通过空间向量的坐标运算来解决立几问题，从而引出课题，并让学生明确需要解决的三个环节：建系，点和向量的坐标确定，向量的坐标运算和运用。
〖反思〗这样的设计能让学生在数形结合思想引领下，类比平面几何问题中平面向量通过坐标系而转化为坐标运算来解决，因此学生探索中有了一条思维暗线，也能自然悟出需要建立空间直角坐标系，也能类比清晰得到本课的线索：需要建立空间坐标系---如何建立空间坐标系---点的坐标的得到---向量的坐标表示---向量的坐标运算---运用解决立几问题，而且平面向量的思路始终引导全过程。然后在此主线引领下一步步自然展开。
二、概念教学
（一）空间坐标系的建立
1、原来的教学安排：
规定：（1）三个两两垂直的单位向量
（2）x、y、z轴
（3）如何画：1350，垂直，用手指（课本上的右手系）
2、思考：为何要有三条轴？为何要两两垂直？如何确定向量的坐标？为何要这么规定三轴间的次序？其他次序不允许吗？
3、改进后的教学设计：类比平面向量问题解决中，选择特殊基底即互相垂直的两个向量作为基底建立平面直角坐标系，将平面向量转化为数；从而也选择空间的特殊基底即两两垂直的三个向量作为基底建立空间直角坐标系；同样类比得到空间直角坐标系的图形、符号语言。
〖反思〗通过这样的引导，学生能类比平面向量的坐标建立和表示，自然地得到空间直角坐标系的建立。这也与引入能较好地相衔接。
（二）点的坐标确定、向量的坐标表示
1、原来的教学安排：
（1）M点作其在xoy平面上的射影（并直接用多媒体演示）

（2）例1、棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。
（3）例2、点B是A（3，4，5）在平面xoy内的射影，求、。
此问题是先有坐标再去找点，通过多媒体在画点过程中可以作出如图所示长方体。同时可以将点的坐标与向量坐标表示相联系而引入向量坐标。
（4）向量的坐标表示：如图(3)给定空间直角坐标系和向量，设为坐
标，则存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作．
2、思考：点的坐标表示、如何建立空间直角坐标系，还有建系的多样性，如何找出各卦限中点的坐标向量的坐标表示等，都需要学生的体验和感悟，同时在此探索过程中，类比的思想可以让学生更多地运用并帮助其探索。
3、改进后的教学设计：
（1）教师提出问题：如何确定一个点在空间直角坐标系中的坐标？然后引导性地提出另一问题：平面直角坐标系的二维坐标是如何确定的？在此基础上启发学生同样通过平行投影的方法确定空间点的坐标。
（2）例1中让学生自己去确定并建立空间坐标系，然后找出各点的坐标，并将不同的建系方式进行比较（学生动手操作并将不同方法用实物投影来演示）。
（3）在例题的分析中由点找坐标和由坐标找点时，将辅助长方体与平面直角坐标系中的矩形相类比。另外，教师提出：如果将A（3，4，5）改为（-3，4，5）或加上其它的负号呢？
（4）向量的坐标表示：教师首先提出：平面向量的坐标是如何确定的？学生回答后接着追问：它与点的坐标有何关系？起点不在原点的向量如何得到它对应的坐标？在学生理解并得出空间向量的坐标表示后，教师给出练习问题：写出下列各题中向量的坐标： (1) (2) (3)
〖反思〗通过教师恰当的问题引导，学生能运用类比思想，利用平行投影确定点（平面向量）坐标的方法，即将平面向量分解为与坐标向量分别共线的两个点（向量），让学生体会降维思想（由二维到一维）。也运用降维的思想，先将空间点（向量）投影到坐标平面（三维到二维），再进一步投影到坐标轴方向（由二维到一维），从而确定坐标。
坐标系的不同建立方式得到不同的点的坐标的对应并作比较，能让学生理解坐标系建立的多样性，明确点的坐标确定需要坐标系建立的前提，也是数形转化的前提。将辅助长方体与平面直角坐标系中的矩形相类比，更有助于学生对三维坐标的理解。针对上面遇到问题都是坐标为正的情形，教师对坐标的正负进行了变式，让学生更清楚各位置点的空间坐标确定，也有助于学生借助长方体法表示点的三维坐标的运用。
通过问题的引导，学生能有效地从两个方面理解向量坐标的定义：一是将空间向量坐标定义与平面向量坐标定义、空间向量在一般基底下的分解相类比来理解。二是将任意空间向量通过平移转化到平移到以原点为起点，再以其终点坐标作为该向量的坐标。安排一定的有正有负的向量坐标变式练习，能让学生对向量的坐标表示逐步熟悉。
三、空间向量的坐标运算
1、原来的教学安排：
（1）运算法则：若，，
则，
，
，
，

（2）问题：①若，，那么 ,对吗？．
②若，，则．
（3）简单运用
练习、已知，若平行，求。
2、思考：
（1）在运算法则的教学中，为何需要运算法则、怎么得到运算法则都感觉不够自然。
（2）练习的主要作用应是让学生熟悉运算法则，而此问题还要学生考虑系数为零的情况，主要方向不够突出。
3、改进后的教学设计：
（1）教师先提出如下问题：已知求 .让学生感觉在定义了向量的坐标后需要有向量的坐标运算。
（2）教师再提出问题：如果问题中的向量是，呢？引导学生类比平面向量坐标运算法则得到空间向量的坐标运算法则，……
（3）在由运算法则得到后，教师再提出问题：请判断、是否平行？这两向量是否垂直？最后由此解决问题：若，，那么 , ，对吗？
〖反思〗让学生体会知识发展的需要并参与知识的形成过程，能有效地帮助学生在原有认知结构基础上通过自主探究发展和形成新的知识结构，也更能让学生深入理解知识并能掌握蕴含其中的方法和思想。
四、知识运用
1、原来的教学安排

例3：如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别是棱AB、BC的中点，求证：A1F⊥C1E
变式1：如果 E、F分别是棱AB、BC的动点，且AE＝BF,求证：A1F⊥C1E
变式2：A1F⊥平面OC1E2、思考：如何与引入更好地串联，还有如何突出运用向量的坐标运算解决问题。
3、改进后的教学设计：
引导学生合适地建系并运用向量的坐标运算解决问题。然后引导学生对此方法和通过线面垂直或是三垂线定理法证明本问题的方法进行比较，在得出简繁后突出数形结合的运用。在变式2教学后提出还有更多的如面面垂直、线线和线面及面面平行、一般的位置关系下的求角等问题呢？
〖反思〗由于有前面的为何需要建系、如何合适地建系的铺垫，也有类比平面方法解决空间问题的主线，学生能自然地类比运用平面向量的坐标运算解决平几问题的方法。通过引导学生对两种方法进行比较，帮助学生理解空间向量坐标运算的实质---将几何问题通过向量转化为坐标运算，从而用代数方法加以解决，更是很好地把握住了数形结合思想的渗透点。最后的问题提出一方面明确了空间向量的坐标运算的更多学习目标，也为下面的内容学习作好了铺垫。
五、小结
1、原来的教学安排
（1）什么是空间直角坐标系？
（2）空间向量、点在空间直角坐标系中的坐标
（3）空间向量运算在立体几何问题解决中的应用步骤
2、思考：应该增加这些内容中蕴含的数形结合思想和探究上述知识方法中的类
比思想。
3、改进后的教学设计：
（1）为何需要建立空间坐标系？如何合适地建立？
（2）有了坐标系，点、向量如何与数对应？向量的运算呢？
（3）在本课的学习中，你觉得是什么方法或思想在引导我们获得知识的？
（4）你认为我们还需要解决哪些问题？
〖反思〗在一节课的归纳小结中，应该包含知识的线索：从需要借助代数方法解
决空间几何问题，到建立空间坐标系，再到将点和向量与点的坐标相对应，再到利用坐标运算解决立几问题。也包含着蕴含其中的思想方法线索：类比平面向量的坐标运算解决平面几何问题的方法，借助代数方法解决几何问题的数形结合思想。最后提出的问题更能引导学生在上述思想方法的线索下将前后的学习融为一体。
课堂教学是教师教学研究的主要内容，在公开课后的分析会上，我们进一步将整个过程进行了回顾和比较，通过反思，教师们感觉到通过这样的思考和改进的过程，我们共同得到了提高

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