在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上的一点，且AF=1／4AD，求证：CE平分∠BCF？

证明：假设AB=BC=a
则EF=√5a/4 CF=5a/4 EC=√5a/2
可知三角形CEF为直角三角形 腰EG=a/2
又 三角形CBE为直角三角形
BC/BE=CE/EF=a/2
所以三角形CBE与三角形CEF相似
∠BCE=∠ECF 即CE为∠BCF的角平分线

假设AB=BC=4（为了计算方便，当然设它=a也可以，不影响过程）
则EF=√5 CF=5 EC=2√5
可知三角形CEF为直角三角形 腰EG=2
又 三角形CBE为直角三角形
BC/BE=CE/EF=2
所以三角形CBE与三角形CEF相似
∠BCE=∠ECF 即CE为∠BCF的角平分线

连接EF。
AF＝1/2BE、AE＝1/2BC，角A＝角B＝90度，易知三角形AEF与三角形BCE相似，所以角AEF＝角BCE，且EF/CE=AF/EB=1/2
由于角BCE+角CEB＝90度，所以角AEF+角CEB＝90度，所以角CEF＝90度。
在三角形CEF中，EF/CE=1/2，在三角形CBE中BE/CB=1/2，即EF/CE=BE/CB，即EF/BE=CE/CB。
所以三角形BCE与三角形ECF相似，角BCE＝角ECF，即CE平分角BCF。得证。