danken+第三格die Frau 的第三格是der Frau 所以就是:Ich danke der frau---我感谢这个女人!你说的den是阳性名词der的第四格,而这里的Frau是阴性die,而且这里用第三格!die的第三格就是der
danken + Dat., die 的第三格是der, den 是der 的第四个或者复数die的第三格