证明数列极限存在：设0<x1<1,当x>=1时，有xn+1=2xn-xn2

如下：

xn+1=-xn^2+2xn=-(xn-1)^2+1。

假设xn上无界；因为xn=1-（xn-1 -1)^2；xn<1。

所以假设不成立，xn上有界，xn<1。

极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。它可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。

xn+1=-xn^2+2xn
=-(xn-1)^2+1
假设xn上无界
因为xn=1-（xn-1 -1)^2
xn<1
所以假设不成立，xn上有界，xn<1
假设xn下无界
因为xn=1-(xn-1-1)^2
xn-1=1+√(1-xn)
xn-1下无界，
如此类推
x2下无界，
但是x2=1-(x1-1)^2=1-(1-x1)^2
1>x1>0 1>1-x1>0
x2>0
因此假设不成立
xn<1且下有界
数列{xn}极限存在

可以把通项写出来。 X(n+1)-1 =-(X(n)-1)^2
所以 X(n)=(-1)^(n-1)(X1-1)^(2^(n-1))+1 而 -1所以 limX(n)=1 收敛速度奇快无比