为什么偶函数的导数为奇函数

偶函数的导数为奇函数的证明过程如下：

证明：

设可导的偶函数f(x)，则f(-x)=f(x)。

两边求导：

f'(-x)(-x)'=f'(x)

即f'(-x)(-1)=f'(x)

f'(-x)=-f'(x)

于是f'(x)是奇函数

f'(-x)(-1)=f'(x)此处用复合函数求导法则 因为[f(-x)]'=f'(-x)(-x)',而[f(x)]'=f'(x) 于是f(-x)=f(x)两边求导得f'(-x)(-x)'=f'(x)。

扩展资料：

在f（x），g（x）的公共定义域上：

1、偶函数±偶函数=偶函数。

2、奇函数×奇函数=偶函数。

3、偶函数×偶函数=偶函数。

4、奇函数×偶函数=奇函数。

对于F（x）=f[g(x)]：

1、若g(x）是偶函数且f（x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

2、若g(x) 是偶函数且f（x）是奇函数，则F[x]是偶函数。

3、若g(x）是奇函数且f(x）是奇函数，则F[x]是奇函数。

4、若g(x）是奇函数且f(x）是偶函数，则F[x]是偶函数。

可以用定义证明，详情如图所示

设 f(x)为偶函数,则 f(-x) = f(x)两边求导f'(-x)·( - 1) = f'(x),即,f(-x) = -
f(x).同理可证奇函数导数为偶函数.