高等数学试卷求答案，追加100分

2025-04-04 08:08:16

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回答1：

《线性代数》总复习题
一、判断题
1. 仅当时等式才成立，则向量组线性无关. ( )
2. 若线性相关，则 , 也线性相关.( )
3. 一个向量组如果含有零向量，则这个向量组一定线性相关. ( )
4. 如果矩阵存在一个不为零的阶子式则矩阵的秩为 . ( )
5. 为向量组T 的一部分向量，如果线性无关，则为向量组T 的最大无关组. ( )
6. 由维向量生成的子空间或者是维的或者是维的.( )
7. 任意齐次线性方程组或者无解，或者有唯一解，或者有无穷多解.( )
8. 初等矩阵可理解为单位矩阵经过一次初等变换而得到. ( )
9. 矩阵经过初等变换后得到的新矩阵实际上与原矩阵相等. ( )
10. 矩阵经过初等变换其行列式的值不变. ( )
11. 矩阵经过初等变换其秩不变. ( )
12．线性方程组的解空间维数仅与 , 有关. ( )
13.线性方程组的解全体构成一个维子空间. ( )
14．方阵为实对称矩阵当且仅当的特征值为实数. ( )
15．方阵的对应于特征值的特征向量必定是齐次线性方程组的解. ( )
16．矩阵的秩就是其列（或行）向量组中线性无关向量的个数. ( )
17.如果向量空间的任一向量均可由线性表示，则称为的一个基. ( )
18. 若在矩阵中有一个阶子式不为，则A中至少有一个阶子式不为 . ( )
19. 上三角方阵的值就是主对角线上元素的乘积. ( )
20. 若线性相关，则可由线性表示. ( )
二、选择题
1. 设为阶矩阵，且 ,而，则
））或 C) ）
2.设为阶矩阵且可逆，则有
））））
3.设，其中都是方阵，且，则有
）可逆但不一定可逆）可逆但不一定可逆
）与的可逆性不定）与均可逆
4.设为阶方阵，则的充分必要条件是
）两行（列）元素对应成比例）必有一行为其余行的线性组合
）中有一行元素全为0 ）任一行为其余行的线性组合
5.A为矩阵，齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的
（A）列向量组线性无关（B）列向量组线性相关
（C）行向量组线性无关（D）行向量组线性相关
6.设线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，则正确的是
（A）若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解
（B）若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多解
（C）若Ax=b有无穷多解，则Ax=0仅有零解
（D）若Ax=b有无穷多解，则Ax=0有非零解
7.线性方程组Ax=b有m个方程，n个未知量，且r(A)=r, 则此方程组
（A）r=m时，有解（B）r=n时，有唯一解
（C）m=n时，有唯一解（D）r8.方程组的解的情形是
(A) 无解， (B) 基础解系中有一个向量，
(C) 仅有零解 (D) 基础解系中有两个向量
9.设且则等于
(A) (B) (C) (D)
10.设向量组线性无关，则线性无关的向量组是

三、填空题
1. 设为矩阵, 为矩阵，且，，则
= ， =
2.设，则当且仅当 = 时，
3.已知，则
4.设，则
5. =
6. 行列式 ________________.
7. 设E 表示由n 阶单位矩阵第i 行与第j 行互换得到的初等矩阵，则E __________.
8. 设为正交矩阵，且 , 其中是的伴随矩阵, 则的行列式等于________.
9. 设 A, B都是n 阶方阵且A 可逆, 则＝
10. 行列式 =
11. 设且则
12. 设是由向量生成的子空间，则向量，
中属于 .
13．设矩阵， ,则线性方程组的解为
14. 矩阵的特征值为
15．行列式 D = 的元素的代数余子式为
16.设向量与向量和都正交，则a,b分别为

17.设 , ，则＝，（利用分块矩阵乘法求解）
18.设向量，，则的夹角为
19．非齐次线性方程组的通解为
20．设 ,则当时线性相关.
21. 已知 = 是A= 的逆矩阵A 的特征向量，则k＝ .

四、计算题
1. 计算行列式

2. 计算

3. 设是3阶矩阵，是的伴随矩阵，，求行列式的值.

4. 讨论向量组, , , 的线性相关性.

5. 设3维向量 , , , 问当取何值时, 可由线性表示且表达式唯一.

6. 求四维向量组
的秩及最大无关组.

7. 试确定参数，使矩阵的秩最小.

8. 验证四维向量
是的一个基，并求向量在这个基下的坐标.

9．验证集合是否为向量空间.

10．问取何值时, 方程组有非零解，并将其通解用基础解系表示出来.

11．当取何值时，方程组无解？何时有解？在有解的情况下求其通解。

12. 求齐次线性方程组的通解

13. 求矩阵的特征值与特征向量.

14.已知矩阵的特征值为求的值，并求相应的特征向量.

15. 用施密特方法，将矩阵的列向量正交规范化

16. 已知0是方阵A= 的特征值，求a和方阵A的其它特征值.

17. 设A= ，求:（1）A的特征值；（2）再用之求方阵E+A 的特征值。

18. 作初等行变换, 化矩阵为行最简形.

19.设元非齐次线性方程组的三个解向量满足 , ，其中．求的通解

20. 设矩阵 , 将正交相似对角化(即求一个正交矩阵使得为对角矩阵)

五、证明题
1. 证明：

2. 对任意的阶方阵，证明和均为对称矩阵.

3. 证明任意方阵均可写成对称矩阵和反对称矩阵之和（为反对称矩阵当且仅当）.

4. 证明A与A 有相同的特征多项式.

5. 若B=C AC，又向量是矩阵A对应于的一个特征向量，试证是矩阵B对应于的一个特征向量.

6. 设是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一维向量都可由它们线性表示.

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