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求微分方程dy⼀dx=[x(1+y^2)]⼀[(1+x^2)y]满足初始条件y|(x=0)=1的特解

2024-11-19 02:21:54

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回答1：

分离变量
dy/dx=[x(1+y^2)]/[(1+x^2)y]
把x，dx都挪到右边，y，dy挪到左边
ydy/(1+y^2)=xdx/(1+x^2)
两边积分
∫ydy/(1+y^2)=∫xdx/(1+x^2)
1/2∫d(1+y^2)/(1+y^2)=1/2∫d(1+x^2)/(1+x^2)
ln|1+y^2|=ln|1+x^2|+C'
e^ln(1+y^2)=e^[ln(1+x^2)+C']=e^C'[e^ln(1+x^2)]
(能去绝对值因为1+x^2>0,1+y^2>0)
1+y^2=C(1+x^2)
代入x=0,y=1
1+1=C(1+0)
C=2
1+y^2=2(1+x^2)
y^2=2x^2+1
因为y(0)=1>0
所以开方
y=根号(2x^2+1)
(舍去-根号(2x^2+1)<0)
所以
y=根号(2x^2+1)

回答2：

这是齐次方程，设z=y/x,
dydx=z+xdz/dx
则原方程变为z+xz'=z+1/z
xdz/dx=1/z
zdz=dx/x
1/2*z^2=lncx
z^2=2lncx
y=xz=x*(2lncx)^(1/2)
你验算一下，反正齐次方程思路就是这样。