若n阶矩阵A的平方=A，E为单位矩阵，证明A的秩+(A -E)秩=n

A²-A=O
A(A-E)=O
所以
R(A)+R(A-E)<=n (1)
又
A+(E-A)=E
所以
n=R(E)=R(A+(E-A))<=R(A)+R(E-A)=R(A)+R(A-E)
即
R(A)+R(A-E)>=n (2)
由（1）（2）得
A的秩+(A -E)秩=n。

证明： 首先证明一个引理 若AB=0，A 为n阶方阵，则有rank（A）+rank（B)<=n
证明如下：设B=（r1，r2，.....，rs）注1，2，....s为下标。 则有（A，A，....A）=0，即Ari=o，i为下标，所以ri为方程AX=0的解， 所以有r（B)<=n--r(A) ，即人=r（A)+r（B)<=n
又由题有A（A--E）=0，所以r（A）+r（A--E)<=n
又有r（A)+r（A--E)>=r（A--（A--E))=r（E)=n 所以由r（A)+r(A--E)=n

A^2-A=0
所以f(x)=x^2-x是矩阵A的一个化零多项式
所以A的特征值是1或0
r(A)就是特征值1的个数，r(A-E)就是特征值0的个数，(因为A-E的特征值是0或-1)
所以r(A)+r(A-E)=n