勾股定理的历史，证明方法和应用

商高定理
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。

赵爽与勾股定理
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

伽菲尔德与勾股定理
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长
一、达纲要求：
1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。
2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。
3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。
5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。

二、重点提示
1、重点 勾股定理及其应用
2、难点 勾股定理及其逆定理的证明
3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。
2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。

四、典型考题示范
例1.若ΔABC的三外角的度数之比为3：4：5，最长边AB与最小边BC的关系是______。
分析：因为三角形三个外角与三内角互补，三角形的内角和为180°，所以三外角的和为360°，这样三个外角的度数分别为90°，120°，150°，因而三角形之内角的度数分别为90°，60°，30°，因而三角形是含30°角的直角三角形，应用直角三角形，应用直角三角形的性质可以找到最长边与最短边的关系。
解：设三角形的三个外角分别为3α，4α，5α，则有3α+4α+5α=360°，
∴α=30°3α=90° 4α=120° 5α=150°
故三角形三个角度数为∠C=180°-90°=90°,∠B=180°-120°=60°,∠A=180°-150°=30°,∴ΔABC为含30°的直角三角形。
∴AB=2BC（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）
填 AB=2BC
评注：本题应用勾股定理可以找到三边的关系，若已知一条边的长，可以求其余两边长。

例2.如图3-180，ΔABC中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是（ ）
A. 1 B.3 C.6 D. 非以上答案
分析：因为P点到各边的距离都相等，因此可以考虑用面积法求这个距离，由∠B=90°，AB=7，BC=24，由勾股定理可以求出AC的长，所以用面积公式可以求出P点到各边的距离，为此要连结PA、PB、PC。 图3-180
解：由勾股定理得，AC2=AB2+BC2=72+242=252, ∴AC=25，设P点到各边的距离为r，连结PA、PB、PC，依三角形的面积关系有SΔABP+SΔBCP+SΔACP=SΔABC
即
得（7+24+25）r=7×24，∴r=3
评注：涉及到垂线段的问题，常可联系到某一三角形的高，从而根据面积关系和面积公式得到关于垂线段的方程，通过解方程，求垂线段的长。用面积法求直角三角形中有关线段的长是各地中考命题的热点。

例3.如图在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°,∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析：要求四边形的面积可以将四边形转化为三角形通过先求三角形的面积，再求四边形的面积，为了便于利用已知边和角，在作辅助线时，尽量保持已知边和已知角，为此连结四边形的对角线的方法和作AB、DC的延长线均不可取，作BC的延长线与AD的延长线相交于点E，即保留了已知边和已知角，又得到了两个含30°角的直角三角形，使问题变得简单易解。
解：作BC的延长线交AD的延长线于点E
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°
在RtΔCDE中，∠CDE=90°，CD=1
∴CE=2，

在RtΔABE中，∠ABE=90°，AB=2，∠A=60°
∴AE=4，

又∵S四边形ABCD=SΔABE-SΔCDE

评注：本题解答的关键是构造特殊的直线三角形，并且这些特殊三角形以已知线段为边。

五、错例剖析
[例1]已知等腰三角形的底角等于15°，腰长等于2a，求腰上的高。
已知如图3-189，ΔABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，BD是高，求BD的长。
错解：∵∠BAB=∠ABC+∠ACB
∴∠DAB=15°+15°=30°
又∵BD是高，∴在RtΔABD中，AD=AB=a 图3-189
由勾股定理得：
剖析：解析几何问题时，画图很重要，画得准确、规范，可以利用图形的直观，对解题有帮助作用，画得不准则容易造成错觉，本题就是由于作图的不准，误认为∠DBA=30°
改正：如图3-190
∵∠DAB=∠ABC+∠C，∴DAB=15°×2=30°
∵BD是高，∴RtΔABD中，BD=AB=a 图3-190

[例2]若直角在角形的两条边长为6cm，8cm，则第三边长为_____cm。
错解：设第三边长为xcm，由勾股定理得：
62+82=x2,即第三边长为10cm。
剖析：题目中没有已知第三边是斜边还是直角边，需要讨论，这里误认为是斜边，所以，解答不完全。
改正：设第三边长为xcm
若第三边长为斜边，由勾股定理得
若第三边长为直角边，则8cm长的边必是斜边，由勾股定理得

[例3]已知在ΔABC中，三条边长分别为a, b, c，且a=n，,（n为大于2的偶数），
求证：ΔABC是直角三角形。
错误：由勾股定理，得a2+b2=c2
a2+b2=

∴ABC是直角三角形。
剖析：根据三角形的边的关系，判定是否直角三角形，可以用勾股定理的逆定理来解决，这里错误地应用了勾股定理，首先就把ΔABC当成了直角三角形。
改正：a2+b2=
∴ΔABC是直角三角形（勾股定理的逆定理）

[例4]在ΔABC中，已知∠C=90°,AB=10,∠A=45°,求BC的长。
错解：∵∠C=90°,∠A=45°∴∠B=90°,∠A=45°
∴∠A=∠B ∴BC=AC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2
∴2BC=10,∴BC=5
部析：上述解答中，“将2BC2=AB2”中的指数约去，这一步显然是错误的。
改正：∵∠C=90°，∠A=45°，∴∠B=90°-45°=45°
∴∠A=∠B，AC=BC（等角对等边）
在RtΔABC中，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，即2BC2=AB2，

商高定理
商高是公元前十一世纪的中国人。当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期。在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 《周髀 算经》中记录着商高同周公的一段对话。商高说：“…故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是著名的勾股定理.
关于勾股定理的发现，《周髀算经》上说："故禹之所以治天下者，此数之所由生也。""此数"指的是"勾三股四弦五"，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的。

毕达哥拉斯定理
Pythagoras’ theorem
在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理”。法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。但他们发现的时间都比我国要迟得多。

赵爽与勾股定理
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。
中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

伽菲尔德与勾股定理
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；

在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。

于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。

应用就是求题,直角三角形知道2长边求第3边长
一、达纲要求：
1、理解余角的概念，掌握同角或等角相等，直角三角形两锐角互余等性质，会用它们进行有关论证和计算。
2、了解逆命题和逆命定理的概念，原命题成立它的逆命题不一定成立，会识别两个互逆命题。
3、掌握勾股定理，会用勾股定理由直角三角形两边长求第三边长；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。
4、初步掌握根据题设和有关定义、公理、定理进行推理论证。
5、通过介绍我国古代数学关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育。

二、重点提示
1、重点 勾股定理及其应用
2、难点 勾股定理及其逆定理的证明
3、关键点 灵活运用勾股定理及其逆定理进行证题和计算

三、方法技巧
1、勾股定理是直角三角形三边存在的一种特殊关系，它的证明方法很多，用面积法证明比较简捷，用面积法证题是一种重要的证题方法，涉及到距离或垂线段时运用面积法解题较方便。
2、勾股定理的应用非常广泛，在进行几何计算时，常常要用到代数知识的方法，有的几何题为了应用勾股定理，可以作高（或垂线段）构造直角三角形。
3、勾股定理的逆定理的证明方法比较特殊，这种证题思路和方法值得学习借鉴，勾股定理的逆定理是判定是否直角三角形的重要依据，它可以通过边的长度关系，确定角的大小，因而在应用时，有一定的技巧，解题的思路有时更为特殊。

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB、AC、BC为边向外有三个正方形：正方形ABDE，正方形ACGF，正方形BCHJ.

连接DC、AJ。

过A点作AN⊥JH，垂足为N，交BC于M。

先通过SAS，可得△ABJ≌△DBC，

因此它们的面积相等。

而正方形ABDE的面积=2△DBC的面积

长方形BMNJ的面积=2△ABJ的面积

因此 正方形ABDE的面积=长方形BMNJ的面积

同理可得 正方形ACGF的面积 = 长方形CMNH的面积

从而： BC2=AB2+AC2