求z=y^x的二阶偏导数

解答过程如下：

这是一个幂指数函数先求对函数关于x的一阶偏导，则y为常数，这个函数看做指数函数。z'(x)=y^x·lny，再求对函数关于y的一阶偏导z'(y)=x·y^(x-1)。

然后继续对关于x,y分别求二阶偏导数：

z'(xx)=y^x·ln²y。

z'(yy)=x(x-1)·y^(x-2)。

z'(xy)=xy^(x-1)lny+y^x·1/y=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。

z'(yx)=y^(x-1)+xy^(x-1)lny。

扩展资料：

偏导数的几何意义

表示固定面上一点的切线斜率。

偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率；偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

高阶偏导数

如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。

f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对 x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导；后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时，求导的结果与先后次序无关。

参考资料来源：百度百科-偏导数

这是一个幂指数函数
先求对函数关于x的一阶偏导，则y为常数，(那这个函数可以看做指数函数)
z'(x)=y^x·lny，再求对函数关于y的一阶偏导(这个函数可以看做幂函数)
z'(y)=x·y^(x-1)
然后继续对关于x,y分别求二阶偏导数
z'(xx)=y^x·ln²y
z'(yy)=x(x-1)·y^(x-2)
z'(xy)=xy^(x-1)lny+y^x·1/y
        =y^(x-1)+xy^(x-1)lny
z'(yx)=y^(x-1)+xy^(x-1)lny

这个图片应该看得更清楚些，希望可以帮到你们。

z=e^(xlny)
dz=e^(xlny)*(lnydx+xdy/y)
z'|x=e^(xlny)*lny
z'|y=e^(xlny)*(x/y)
则：
z''|x^2=e^(xlny)*(lny)*(lny)=(lny)^2*y^x;

z''|y^2=e^(xlny)*(x/y)*(*x/y)+e^(xlny)*(-x/y^2)
=e^(xlny)*(x/y^2)*(x-1)
=x*(x-1)*y^(x-2)
z''|xy=e^(xlny)*(x/y)*lny+e^(xlny)*(1/y)
=e^(xlny)*(1/y)*(xlny+1)
=y^(x-1)*(xlny+1)

• Z=y^x

• Z'x = lny y^x

• Z''xx = lny lny y^x

• Z'y = xy^(x-1)

• Z''yy = x(x-1)y^(x-2)

• Z''xy = y^x/y * y^x + lny xy^(x-1) = y^(2x-1) + lny xy^(x-1)
  

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