解:f '(x)=(xcosx-sinx)/x²
f '(0)无定义,但可求其极限。
x→0limf '(x)=x→0lim[(xcosx-sinx)/x²]=x→0lim[(cosx-xsinx-cosx)/2x]
=x→0lim[(-xsinx)/2x]=x→0lim[(-sinx)/2]=0
f '(0)≠1
原题是错的!
洛必达法则,在0处分子分母都为0,分子分母分别求导得cosx/1,x=0,导数为1
有两个重要极限:
1、x趋近0时sinx/x的极限为1
2、n无穷大,(1+1/n)^n极限为e
但是sinx/x取x=0时无意义,只是一个趋势,应补充f(0)=1使f(x)在R上连续