解：1+2+3+······+n=1/2(1+n)n（首项加尾项乘以项数除以2）
原式=½(1+2009)×2009×½(2+2010)×2009-½(1+2010)×2010×½(2+2009)×2008
=¼(2011-2)×4022-¼×2011×4018（整理结合化简）
=¼(2011×4-4022×2)
=0
.....................................
:(1+2+3+···+2009)(2+3+4+····+2010)-（1+2+···2010）（2+3+2009）
设:1+2+3+···+2009+2010=a
:(1+2+3+···+2009)=a-2010
(2+3+4+····+2010)=a-1
（2+3+2009）=a-1-2010=a-2011
所以
（a-1）（a-2010）-a（a-2011）
=a²-2011a+2010-a²+2011a
=2010
祝学习进步
为方便书写让x=1+2+3+···+2009
原式=x（x+2009)-（x+2010）（x-1）=x^2+2009x-(x^2+2009x-2010)=2010
不妨设x=1+2+3+···+2009,y=2+3+4+····+2010,
则原式化为: xy-(y+1)(x-1)=1+y-x=1+(2+3+4+····+2010)-(1+2+3+···+2009)=(1+2+3+4+····2009)+2010-(1+2+3+···+2009)=2010
第二题其实很简单，利用基本不等式 a+b>=2根号ab
有: ab<=(a+b)^2/4=4,又因为c为实数，c^2>=0,ab-4>=0,ab>=4.
由此可知ab=4,c=0,故a+b+c=4
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