请问首都师范大学和北京师范大学是一个学校吗？

当然不是了。两所学校都很正规，都是重点的本科院校。北京师范大学是教育部直属重点院校，首都师范大学是北京市直属重点院校。
当然是北京师范大学更好一些，是十大名校之一，106年的百年名校。前身是京师大学堂师范馆。

如果你要两所学校的具体介绍，我觉得没有必要全部粘上来，给你一部分吧：

北京师范大学简介
一、学校概况

北京师范大学现有校园总面积1048亩，在校全日制本科生8500余人、研究生9100余人、长期留学生2000余人、网络与继续教育各类学生20000余人，教职工3000余人，现设23个学院、3个系、10个研究院（所、中心）、9个代管研究机构、5个共建研究机构，图书馆书刊藏量300余万册、电子图书近20万册、各类中外文数据库近60个。

“七五”、“八五”期间，被确定为国家首批重点建设的十所大学之一。“九五”期间，又被首批列入“211 工程”建设计划。百年校庆之际，教育部和北京市决定重点共建北京师范大学，北京市第九次党代会将北京师范大学列入支持建设的世界一流大学的行列。

“十一五”时期，北京师范大学坚持“稳定规模、优化结构、突出特色、自主创新”的发展思路，紧紧抓住“提升质量、突出特色”的主线，深化体制改革，完善运行机制，优化资源配置，使教学科研整体水平和学科综合实力全面提高，知识创新、服务社会和参与国际竞争等方面的能力明显增强，为建设综合性、有特色、研究型世界知名高水平大学奠定坚实基础，为建设创新型国家做出更大贡献。
详见：http://www.bnu.edu.cn/xygk/xygk_xiaokuangzongshu.htm

首都师范大学
首都师范大学创建于1954年，是一所包括文、理、工、管、法、教育、外语、艺术等专业的综合性师范大学，是北京市重点投入建设，进入“211工程”的北京市属重点大学。建校53年来，共培养各类高级专门人才近10万名，是为北京市基础教育输送合格师资和培养其他现代化建设所需人才的重要基地。

学校现有博士学位授权一级学科3个，博士点40个，博士后流动站8个，硕士学位授权一级学科13个，硕士点107个。国家重点学科4个，市级重点学科6个，市级重点建设学科12个，2个教育部重点实验室，4个北京市重点实验室，1个国家基础学科科学研究和人才培养基地，1个教育部体育与艺术人才培养基地，1个全国省属高校人文社会科学重点研究基地，1个北京地区生命科学与人才培养产学研基地，1个教育部首都师范大学基础教育课程研究中心，1个空间信息技术教育部工程研究中心。
详见：http://www.cnu.edu.cn/intro/intro.asp

这是两所院校。

首都师范大学地址：北京市西三环北路105号。

北京师范大学地址：北京市海淀区新街口外大街19号 。

首都师范大学（Capital Normal University），简称“首师大”，中华人民共和国教育部与北京市人民政府共建高校，国家“双一流”世界一流学科建设高校，国家“特色重点学科项目”建设高校，教育部本科教学工作水平评估优秀学校，京港大学联盟成员。

入选国家建设高水平大学公派研究生项目、教育部来华留学示范基地、教育部卓越教师培养计划、国家大学生创新性实验计划、中国政府奖学金来华留学生接收院校、乡村教师支持计划、首批高等学校科技成果转化和技术转移基地，学科专业涵盖文、理、工、管、法、教育、外语、艺术等。

北京师范大学（Beijing Normal University），是一所以教师教育、教育科学和文理基础学科为主要特色的著名学府，位列双一流、985工程、211工程，国家“七五”、“八五”首批重点建设十所大学之一。

入选珠峰计划、2011计划、111计划、卓越法律人才教育培养计划、国家建设高水平大学公派研究生项目、国家大学生创新性实验计划、中国政府奖学金来华留学生接收院校。

不是同一所，两个都是正规的，但是北京师范大学排名更靠前。

北京师范大学（Beijing Normal University），是中华人民共和国教育部直属、中央直管副部级建制的全国重点大学，位列双一流、985工程、211工程，国家“七五”、“八五”首批重点建设十所大学之一；是粤港澳大湾区物流与供应链创新联盟成员高校。
入选珠峰计划、2011计划、111计划、卓越法律人才教育培养计划、国家建设高水平大学公派研究生项目、国家大学生创新性实验计划、中国政府奖学金来华留学生接收院校，设有研究生院，是一所以教师教育、教育科学和文理基础学科为主要特色的著名学府。

名字不同，一个是教育部重点，一个是一个是教育部和北京政府重点，