显然，向量α1，α2，...，αr-1，β可以由向量组α1，α2，...，αr-1，αr线性表出。要证明两组向量等价，只要证明向量α1，α2，...，αr-1，αr可以由向量组α1，α2，...，αr-1，β线性表出，即只要证。因为向量β可由α1，α2，...，αr线性表示，不妨设
β=k1α1+k2α2+...+krαr
如果kr=0，那么向量β可由α1，α2，...，αr-1线性表示，矛盾。所以kr≠0，于是有
αr=(1/kr)β-(k1/kr)α1-(k2/kr)α2+...+(kr-1/kr)αr-1，
即向量αr可以被向量组α1，α2，...，αr-1，β线性表出。
所以这两组向量是等价的。
由已知,
只需证
αr
可由
α1，α2，...，αr-1，β
线性表示
因为
β可由α1，α2，...，αr线性表示
所以
β
=
k1α1+k2α2+...+krαr线性表示
又因为
β不可由α1，α2，...，αr-1线性表示
所以
kr≠0
所以
αr
=
(1/kr)(β
-
k1α1-k2α2-...-kr-1αr-1)
即有
αr
可由
α1，α2，...，αr-1，β
线性表示
命题得证.
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