证:
将b按列分块为
b=(b1,...,bs)
因为
ab=0
所以
a(b1,...,bs)
=
(ab1,...,abs)=0
所以
abi=0,
i=1,...,s
即
b
的列向量都是齐次线性方程组
ax=0
的解向量
所以b的列向量组可由
ax=0
的基础解系线性表示
而
ax=0
的基础解系含
n-r(a)
=
n-r
个向量
所以
r(b)
<=
n-r.
必要性（?）设BTAB为正定矩阵，则对于任意的实n维列向量x≠0，都有：xTBTABx＞0，即（Bx）TA（Bx）＞0．所以：Bx≠0．因此，Bx=0只有零解，故有r（B）=n．充分性（?）如果r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对于任意的实n维列向量x≠0，都有：Bx≠0．又因为A为正定矩阵，故有：（Bx）TA（Bx）＞0，即：xTBTABx＞0．所以BTAB为正定矩阵．
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