请问“存在极限”、“数列收敛”、“有界性”有什么关系？

1、数列收敛与存在极限的关系：

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；

2、数列收敛与有界性的关系：

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！

例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|数列存在唯一极限。

设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

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收敛数列性质：

1、唯一性

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。

2、有界性

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论：无界数列必定发散；数列有界，不一定收敛；数列发散不一定无界。

数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。

数列收敛则存在极限，这两个说法是等价的；

数列收敛则数列必然有界，但是反过来不一定成立！例如：Xn=1,-1,1,-1,.....|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛。

设数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|数列存在唯一极限。

设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

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收敛数列与其子数列间的关系：

1、子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|

2、若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。

3、如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a。

数列收敛当然存在极限，这两个说法是等价的；数列若是收敛则数列必然有界，反过来不一定成立！
例如：Xn=1,-1,1,-1,.....
|Xn|<=1，是有界的，但是Xn不收敛
对于收敛的数列，他的极限小于等于界；这里的界有很多的，可以很大的，界不是唯一的，一般讨论最大（最小）的界比较有意义。

(n->∞)lim xn 存在 那么我们就说数列{xn}收敛
收敛必有界 但有界不一定收敛

没有关系 丨M丨≥丨A（limf(x)=A）丨 可以看作值域是[-M,M]的子集