证明，群G的中心C是G的正规子群

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2025-03-26 23:38:19

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回答1：

假设一个G的中心为C，若C是G的一个子群，且任意取a属于C，任意取g属于G有ag＝ga.gc＝cg则C是G的中心，因此G的中心是一个不变子群或者说正规子群

回答2：

首先C是所有在G中和G的所有元素可交换的元素的集合。
因此g^-1Cg=g^-1gC=C，证毕
即把C里所有的元素c都做这样的运算，都是交换的，g-1和g都消了，因此对任何G里的g，
g-1cg=c都是他本身。因此g-1Cg={g-1c1g, g-1c2g, g-1c3g, g-1c4g, g-1c5g,...}={c1,c2,c3,c4....}
=C.

回答3：

C(G)一般指centralizer,Z(G)表示center.(假设你已经证明了center是G的子群)
if x belongs to Z(G)
then xg=gx for all g in Gthen gxg^-1 =C(G).
群G的正规子群H中除了包含群的中心元素c外,还可以包含x,y.