116问答网 > 已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))，(Ⅰ)若a=0，b=3，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切

已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))，(Ⅰ)若a=0，b=3，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切

2025-03-24 03:14:38

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回答1：

解：(Ⅰ)f(x)=x³ -3x² ，f′(x)=3x² -6x，
∴k=-3，
又f(1)=-2，
∴所求切线方程为3x+y-1=0。
(Ⅱ)当a=0时，x² (x-b)+x³ lnx+x² ≥0，即b≤x+xlnx+1，
令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，
由g′(x)=0，得x=e^-2 ，

由上表知g（x）的最小值为，
所以有。
(Ⅲ)假设，即，
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a² ][st-(s+t)b+b² ]=-1，
由s，t为f′(x)=3x² -2(a+b)x+ab=0的两根可得，，
从而有，
，
即，这与a+b＜2 矛盾，
故直线OA与直线OB不可能垂直。