求不定积分dx⼀x根号下（x^2-1）

解题过程如下图：

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

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根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

性质

1、函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和；即：设函数  及  的原函数存在。

2、求不定积分时，被积函数中的常数因子可以提到积分号外面来。即：设函数  的原函数存在，  非零常数。

结果为：-arcsin(1/|x|)+C

解题过程如下：

设t=1/x

则dx=-dt/t^2

∴原式=∫1/[x(x^2-1)^(1/2)]dx

=-∫(dt/t^2)*t|t|/(1-t^2)

=-sgn(t)∫dt/(1-t^2)^(1/2)

=-sgn(x)arcsint+C

=-arcsin(1/|x|)+C

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求函数积分的方法：

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

作为推论，如果两个  上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。

对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对  中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S，那么f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S。

令x=sint

原式=∫cost/(sint+cost) dt

=1/2 ∫(cost-sint)/(sint+cost) dt+1/2 ∫(cost+sint)/(sint+cost) dt

=1/2∫1/(sint+cost) d(sint+cost)+1/2∫dt

=1/2ln|sint+cost|+1/2t+c

t=arcsinx

cost=√1-x^2

所以

原式=1/2ln|x+√1-x^2|+1/2arcsinx+c

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不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

9、∫ tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C

10、∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C

都是正确的，原函数的表示不唯一

答案应为arccos1/x+c，这与你书上的答案不矛盾，带入不同，它带的是csct，但你的x=sect=1/cost,故t=arccos1/x而不是arc1/cosx