数学建模之炮弹问题

实验一 一元函数微分学

实验5 抛射体的运动（综合试验）

引言 Mathematica可以被用来探索各种各样的可能性,从而能在给定的假设条件下模拟出所
求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验,具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动. 我们意图通过这样一个范例,让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解. 在你写实验报告时,一定要清楚地解释你做了什么以及为什么要这样做,同时逐步熟悉科学报告的写作方法.
问题 根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km的前方有一敌军的坦克群正以每小时
50km向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求
每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹
发射速度可控制在0.2km/s至0.6km/s之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以
最有效摧毁敌军坦克.
说明 假设不考虑空气阻力,则炮弹的运动轨迹由参数方程
,
给出,其中 是炮弹发射的初速度, 是炮弹的发射角, 是重力加速度（9.8m/ ）. 上面第一个方
程描述炮弹在时刻 的水平位置,而第二个方程描述炮弹在时刻 的垂直位置.
我们假设大炮位于坐标原点（ ）, 轴正向垂直向上, 轴水平指向敌军坦克. 下面
先利用Mathematica绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹. 输入
horiz[v_,a_,t_]:=v Cos[a Pi/180] t
vert[v_,a_,t_]:=v Sin[a Pi/180] t-(1/2) g t^2
g=9.8
假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 ,输入
ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},
{t,0,50},PlotRange->{0,5000},AxesLabel->{x,y}]
得到炮弹运行轨迹的典型图形（图5-1）:

图5-1

实验报告
在上述假设下,进一步研究下列问题:
(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica画出炮弹运行的轨迹.
(2) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发
射角才能击中坦克？画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.
(3) 假定坦克在大炮前方10km处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应
如何选择炮弹的发射角？从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.
(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km处以每小时50km向大炮方向
前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案？